リスク中立確率と裁定ポートフォリオ

質問

リスク中立確率と裁定ポートフォリオを先日習ったのですが
私が理解力に乏しいため分かりませんでした。
また、そのため出された問題ですら解くことが出来ない状態です。

お聞きしたいのはリスク中立確率と裁定ポートフォリオとは
どのようなものか、そして問題の回答手順です。
お教え頂ければ幸いです。

（問題）
次の金融市場モデルにおいて、リスク中立確率は存在するか？
存在するは愛はリスク中立確率を求めて、存在しない場合は
裁定ポートフォリオを組め。
(1) a=0.1 , b=0.3 , r=0.2
(2) a=0.1 , b=0.2 , r=-0.1

回答No.1

gootttt · ベストアンサー

(1) a=0.1 , b=0.3 , r=0.2
(2) a=0.1 , b=0.2 , r=-0.1
↑の部分がどういう風に記号が割り振られているのか少々分かりませんでした。そもそもポートフォリオの問題を解いた事が無いので解ける自信もありません。

ただポートフォリオのおおよその考え方だけは説明する事が出来ます。
株というのは基本的に持っていれば上がるものです。しかし思わぬアクシデントで大損をするリスクもあるわけです。そこでポートフォリオとは、リスクを分散相殺する事によって確実に儲かるようにしようという考え方です。

例えばタクシー会社の株を買うとします。
すると原油が安い時は上がり、高い時には下がるわけです。
こうやって保有している株価が安定していないとたいていの人は投資を尻込みします。
例えば、自分の全財産が1/2の確率で2倍になるけれど、1/2の確率で全て失うという賭けができる人はそういないと思います。
これが8割で2倍、2割が0でも賭けられる人はなかなか居ないと思います。しかし確実に1割儲かるなら誰だって賭けを受けるでしょう。
同じように資産運用でも安定が重要なわけです。

ではどうしたらよいでしょうか？答えは簡単です。持っているの株と反対の値動きをする別の株を保有しておけば良いのです。
例えば、タクシー会社の株と石油会社の株を同時に保有しておけば、原油が下がった時はタクシー会社の株が上がり、原油が上がった時は石油会社の株が上がるので、もう一つの株価の値動きを相殺してくれるわけです。保険のようなものですね。

NYではこの80年で株価というのは数百倍だか数千倍に膨れたそうです（インフレ分差し引いて）。急激な値上がりではなく、むしろ日経平均の上昇分だけの利回りを上げられれば良いんだという考え方ですね。
（まあプロなら日経平均よりどれだけ高い利回りを上げられるかが勝負なのでしょうが…）

勿論『株』全体が下がるリスクもあるわけで、そういうリスクを避ける為に、投資家は債権や現物（金や石油や大豆）などにも投資をしてリスクを分散相殺させるわけです。

お礼

なるほど・・・大変詳しい回答ありがとう御座います。
とてもよく理解できました。

補足

(修正)
存在するは愛はリスク中立確率を求めて
→存在する場合はリスク中立確率を求めて

rは安全債権の利子、a・bは株式の利益かと思われます。
なにぶん初めてなものなので説明足らずで大変申し訳ありません。

回答No.2

gootttt

問題の認識が正しいかどうかも分からず、知ってる知識で適当に答えるので参考程度でよろしくお願いします。
(1) a=0.1 , b=0.3 , r=0.2
(2) a=0.1 , b=0.2 , r=-0.1
は（1）(2)という２つの可能性があるという問題だとして解きます。
解法は期待利得を使ってみます。
しかしまあどの場合もbが最も儲かるのが分かっていたらポートフォリオは成立するのか定かではありませんが・・・。

(1)になる可能性をP、(2)になる可能性を1-Pとします。（0≦P≦1）
次にaに投資する額をA、bに投資する額をB、rに投資する額をRとします。
投資額の合計をEとするとE=A+B+R。

すると期待利得EPは
EP=Px(0.1A+0.3B+0.2R)+(1-P)x(0.1A+0.2B-0.1R)
=0.1x(A+(3-P)B+(3P-1)R)　
となるのではないでしょうか？
この場合どこをどう見てもBだけを購入することが、いかなる場合も利得が最大化する方法なのでポートフォリオの問題になっていません。
ですので何かしらの見落としや誤解がある可能性が高いです。

正式な答が分かったら、教えていただけると嬉しいです。

お礼

行列が上手く表示出来ませんがご了承ください。以下回答になります。
qはリスク中立確率、Xは裁定ポートフォリオ、rは安全債権の利子、a・bは株式の利益かと思われます。

（１）この金融市場において、a < r < b なのでリスク中立確立が存在する。
R=(1+r　1+b)　=　(1.2　1.3) , q　=　(q ) とおくと、
　　(1+r　1+a) 　　(1.2　1.1) 　　　 　(1-q)

'Rq　=　(1+r)(1)を満たすので
　　　　　　　　(1)

(1.2　1.3)(q　)　=　(1.2)
(1.2　1.1)(1-q) 　　(1.2)

第一行は1.2　=　1.2となり自明。
第二行は1.3q　+　1.1(1-q)　=　1.2 よってq　=　1/2

ここで0　<　q　=　1/2　<　1を満たす。

よってリスク中立確率q　=　(1/2)である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1/2)

（2）この金融市場においてr　<　a　<　bとなるので、リスク中立確率は存在しない。つまり裁定ポートフォリオが存在する。

まずR=(1+r　1+b)　=　(0.9　1.2)となる。
　　　　　(1+r　1+a) 　　(0.9　1.1)

ここでX=(X1)　=　(-1)とおくと、
　　　　　　(X2) 　　(1 )

X1　+　X2　=　0となり条件を満たす。

y　=　Rx　=　(0.9　1.2)　=　(-1)　=　(0.3)　=　(y1)　=　y
　　　　　　　　(0.9　1.1) 　　 (1 ) 　　 (0.2) 　　 (y2)

y1　>　0かつy2　>　0なので条件を満たす。

よって求める裁定ポートフォリオはX　=　(X1)　=　(-1)
　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　(X2) 　　　( 1)

補足

(1)と(2)は問1と問2と言うことです。
言葉足らずで真に申し訳ありません。