数学の因数分解

質問

2x^2 - 3xy - 2y^2 + 9x -8y + 10
を因数分解する問題で

与式=2x^2 - (3y-9)x -2y^2 -8y + 10
　　=2x^2 - (3y-9)x -2(y+5)(y-1)
まできて、ここで「たすきがけ」をするわけですが、よくわかりません。
「2x^2」だから最初は「1」と「2」というのはわかります。
次がわからないんですが、「-3y + 9」にするために「-2(y+5)(y-1)」を
どういう風にたすきがけに使うのがわかりません。
「-2(y+5)(y-1)」の前に出ている-2はどのように使うのですか？
あうように片方の（　）内の式にかけるのですか？

回答No.8

kenjoko

No.７です。画像が不鮮明なので、挿入し直しました。

回答No.7

kenjoko

No.２，４，５です。画像の式(1)を因数分解してみましょう。

(2)は２次方程式の一般形です。

(3)は２次方程式の解の公式です。

(4)は(1)に(2)を適用したものです。

(5)は(4)のそれぞれの値を(3)に代入した式です。

(6)は(5)の√の中を計算して、整理した式です。

もし、(5)の√の中が(7)のように変形できれば、（y＋p）を√の外に出すことができます。

変形できなければ(8)のような形で因数分解はおわりです。

さらに、(6)のyの2次式に、２次方程式の解の公式を適用して、

yの値を求めたのが(9)です。解が一つだけ、すなわち、重解であることから、
(5)の√の中は(10)のようになり、外側の√をはずすと、(11)となる。

この値を(5)に代入すると、（12)が得られる。この二つの解をα、βとして、

(13)に代入して、(14)で(1)が因数分解された。これで十分なのだが、

どういうわけか、ほとんどの解答は、(ax+b)(cx+d)の形になっている。

実は、(1)は(15)を展開した式である。センター試験では(16）のように、解答が誘導される。

(1)をたすき掛けで解くのは、容易ではない。自信のあるかたは、やってみて下さい。

２次式の因数分解は、すべて、解の公式を用いて解ける。たすき掛けで解くのが、容易ではない場合も、解の公式を用いると、解ける。

解の公式を用いても解くのが容易ではない場合は、たすき掛けで解いても、解くのが難しい。

よって、たすき掛けは用いるべきでない。

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回答No.6

miswaki7Z

たすきがけで解く手順です。
(ax+b)(cx+d) = acx^2+(ad+bc)x+bd　・・・公式Ａ
この式が基本となります。

2x^2 - (3y-9)x -2(y+5)(y-1)　・・問題Ａ
の場合、

ac = 2　　・・（１）
(ad+bc) = -(3y-9) = -3y+9　　・・（２）
bd = -2(y+5)(y-1)　　・・（３）

となります。

a=1 , c=2
と
a=2 , c=1
の場合がありますが、どちらか片方の場合だけ採用すればよいです。
この問題では、a=2 , c=1として考えることにします。

なぜ、もう片方を考えなくてもよいかというと、

入れ替えても。。
ある因数分解の答えが(2x+1)(x+3)　・・・例１
という問題があったとすると、
(x+3)(2x+1)と入れ替わって求まるだけだからです。
また、aとcの符号をともに反対にする場合も考慮しなくてよいです。
例１の因数分解で言えば、
(-2x-1)(-x-3)のように求まり(-1)^2*(2x+1)(x+3)=(2x+1)(x+3)となって同じ答えになります。

そこで、a=2 , c=1の場合を考えると、公式Ａに当てはまると、
(2x+b)(x+d)という形になることがわかります。

次に、注目するところは、（３）のbdのところです。
この組合せを考えます。

ところで、b=-2 , d=(y+5)(y-1)
のような組合せはありえません。
（２）の部分はyの１次式だからです。

次にxの係数＝（２）=-3y+9においてyの係数が-3であるところに注目すると、考えられる組合せは、
b = (y-1) , d = -2(y+5)　・・＜１＞
b = (y+5) , d = -2(y-1)　・・＜２＞
の２通りしかありません。

＜１＞＜２＞ともにyの係数の部分だけ計算すると、(ad+bc)より
2*(-2)+1*1=-3となってyの係数が一致します。
他の組合せは全てyの係数が一致しません、例えば、
b = 2(y+5) , d = -(y-1)
だと、2*(-1)+2*(-1)=0のように-3にはなりません。
あとは、＜１＞と＜２＞で(ad+bc)を計算して、（２）の-3y+9に一致するものを求めればよいのです。
＜１＞は、
ad+bc = ・・・
となって-3y+9と一致○○○。
＜２＞は、
ad+bc = ・・・
となって-3y+9と一致○○○。
この場合はad+bcより実際は、ad+cbの方が計算しやすいです。
あとは公式Ａにa,b,c,dをそれぞれ代入すればＯＫです。
慣れれば、あまり公式Ａにがちがちとらわれなくても解けるようになります。

回答No.5

kenjoko

No.２、４です。訂正があります。

二次方程式　「　ax^2　+　bx　+　c 」　を

　　　　　　「　ax^2　+　bx　+　c ＝０　」　に訂正します。

回答No.4

kenjoko

※すみません、まだ高校生になってないので、たすき掛け意外の方法をしりません。

それならば今から、たすき掛けを捨てて下さい。

そして、「二次方程式の解の公式」を覚えて下さい。

二次方定式　　ax^2+bx+c ・・・(1)　の解は

x = {-b±√（b^2-4ac)}2a ・・・(2)　である。

(2)を、「二次方程式の解の公式」といい、回りの人はほとんど知っているはずである。

※公式とはa(x-α)（xーβ）　のことですか？

違います。この形を出題者の要求する形に変形して、回答するということです。

※使った事ないのでわかりません。また、あてずっぽうなのかもしれませんが、いままで見たのは「整数」しかなかったので・・・

その程度のレベルではこのような問題は解けません。

回答No.3

alice_44

どうしても思いつかなかったら、
いつまでも悩んでいないで、
No.2 さんの言うように
、サッサと
解の公式を使ってしまえば解決します。

タスキガケを考えるのであれば、
=(2x+A)(x+B) までは来たのですから、
-2(y+5)(y-1) の因数を A と B に振り分ける
ことになるのですが、
A+B が y の一次式であることから
y+5 と y-1 は A と B に分かれて入る
ことが解ります。
あとは、
=(2x+C(y+5))(x+D(y-1)) か
=(2x+C(y-1))(x+D(y+5)) で
うまく当てはまるものがないかを探せばよい。
CD=-2 を満たす C,D をリストアップして、
x の一次項が一致するかどうかチェックしましょう。

回答No.2

kenjoko

たすき掛けを用いるのは最も愚かなやりかただ。

※「2x^2」だから最初は「1」と「2」というのはわかります
そもそも、ここで間違いを起こしている。
「ー1」と「ー2」、「1/２」と「2」、「ー√２」と「ー√２」と
組み合わせは無限にある。「1」と「2」としたのは、ただの当てずっぽうである。

※与式=2x^2 - (3y-9)x -2y^2 -8y + 10
　　=2x^2 - (3y-9)x -2(y+5)(y-1)
ここまでやったのなら、あとは例のやりかたで、

a(x-α)（xーβ）　の形にするだけだ。　　α、β　は　与式＝０　の解

この問題は、５分もあれば解ける。

補足

すみません
まだ高校生になってないので
たすき掛け意外の方法をしりません

公式とはa(x-α)（xーβ）
のことですか？
使った事ないのでわかりません。
また、あてずっぽうなのかもしれませんが
いままで見たのは「整数」しかなかったので・・・

回答No.1

info22_

図のようにたすき掛けをすれば良いです。

お礼

皆様回答ありがとうございました。