倍数

質問

２を加えると３の倍数になり
１を加えると４の倍数になり
１を引くと６の倍数になる

このような整数を小さいほうから３つ求めよ
また５００より小さいものはいくつあるか

という問題のときかたをおしえてください
ヒントでもいいです

はじめの答えは　７，１９，３１
次は４２です

回答No.9

miswaki7Z · ベストアンサー

条件を満たす整数をｘとおくと、
ｘ＋２＝３Ｌ
ｘ＋１＝４ｍ
ｘ－１＝６ｎ

より

ｘ＝３Ｌ－２　・・・(1)
ｘ＝４ｍ－１　・・・(2)
ｘ＝６ｎ＋１　・・・(3)

(1)と(2)より
３Ｌ－２＝４ｍ－１
↓
３Ｌ＝４ｍ＋１　・・・(4)

(1)と(3)より
３Ｌ－２＝６ｎ＋１
↓
３Ｌ＝６ｎ＋３　・・・(5)

(4)と(5)より
４ｍ＋１＝６ｎ＋３
↓
２ｍ＝３ｎ＋１

左辺が偶数なので３ｎは奇数でなければならない。

ｎ＝２ｋ＋１（ｋは０以上の整数）とおいて、(5)に代入すると、

３Ｌ＝６（２ｋ＋１）＋３＝１２ｋ＋９

(1)に代入して、

ｘ＝３Ｌ－２＝（１２ｋ＋９）－２＝１２ｋ＋７　・・・(6)

ｋ＝０のときｘ＝７
ｋ＝１のときｘ＝１９
ｋ＝２のときｘ＝３１
・・・

(6)が５００未満であるための条件は、
１２ｋ＋７＜５００　・・・(7)
↓
１２ｋ＜４９３＝４９２＋１
↓
ｋ＜４１＋１／１２　　（４９２／１２＝４１）

(7)を満たすｋは
ｋ＝０，１，・・・，４１の４２通りである。

結果はあってますが、やり方が正しいかは自信はありません。

回答No.8

ORUKA1951

昔からこんなポカミスしてたな(^^)
X = 8,20,32,44,・・・・・・500
よってNは、X-1 より
N = 7,19,31,43,・・・・・・499

くそっ・・何やってんだろ。

お礼

Ｎは１２ずつ増えるからですね
も一度かんがえます
ありがとうございました

回答No.7

ORUKA1951

昔からこんなポカミスしてたな(^^)
X = 8,20,32,50,・・・・・・500
よってNは、X-1 より
N = 7,19,31,49,・・・・・・499

回答No.6

ORUKA1951

一か所間違えた
＞よって、Nは
＞　7,19,31,43,・・・・487

　この問題は、(3)番目の条件は、(2)が成り立てば自動的に成り立つことに気がつけば、3と4を共に公約数として持つ数の個数を求める問題に収束できることに気がつけば、簡単な問題です。

すなわち、
「４の倍数」から２を引いた数は必ず偶数(2で割れる)であるのですから、
500/(2*3) = 500/12 = 41.66666
　よって41個あり、最初の8を除くと 最後の数は、8 + 12×41は、500
　X( すなわちN+1) は、
X = 8,20,32,40,・・・・・・500
よってNは
N = 7,19,31,39,・・・・・・499

回答No.5

ORUKA1951

＞次は４２です
　42+2は、3の倍数ではない、4+2+2=8だから
1) N + 2 = 3n
3) N-1 は(1)より、Nは奇数でなければならない
　言い換えると、３番目の「１を引くと６の倍数になる」はなくてもよい条件である。
　N+1 をXとおくと
　4で割り切れる数でそれに1加えたら３で割れる数を求めればよい。
　(それから1ひいたものがその数であり、その個数が答え)
500/(3*4) = 41.6・・・・　　４１個
　X= 8,20,32,・・・・・500 　　一般式 8+ 12(n-1) n=1～41
よって、Nは
　7,19,31,43,・・・・496

回答No.4

noname#108210

ANo2　です。
すみません。最後間違えました。
>0≦t≦42
>が得られます。
正しくは、
「0≦t≦41
で、42個
が得られます。」
でした。

回答No.3

info22_

m,n,k,hを自然数として
x+2=3m
x+1=4n
x-1=6k
とおける。

これらから
x=3m-2=4n-1
3m=4n+1
m=n+(n+1)/3
n+1=3h
n=3h-1
x=12h-4-1=12h-5=6(2h-1)+1=6k+1
k=2h-1
∴x=12h-5
が導ける。
この式でh=1,2,3,4, ... とおけば条件を満たすxが得られます。
0<x=12h-5<500を満たすhが答えになります。

5<12h<505
これを満たす自然数hの範囲を求めると
5/12≒0.42<1≦h≦42<505/12≒42.08
これを満たす自然数hの個数が答えになります。

お分かりですか？

お礼

ありがとうございます
考えてみます

回答No.2

noname#108210

求める整数をnとして，条件を式にしてみる。
p,q,r,sを整数として，

n+2=3p　‥‥（１）
n+1=4q　‥‥（２）
n-1=6r　‥‥（３）

（３）から，n=6k+1‥‥（４）
このとき，n+2=6k+3=3(2k+1)　で（１）は満たしています。
（２）から，n+1=6k+2=4s　でなければなりません。

4s=6k+2
2で割って，
2s=3k+1
これから，kは奇数となる。
よって，k=2t+1　(ただし，tは整数)とおいて，
（４）式へ代入すると，
n=6(2t+1)+1=12t+7‥‥（５）

ここで，t=0,1,2　とおけば，はじめの答え，7,19,31　が得られ，
7≦12t+7≦500
を解けば，

0≦t≦42
が得られます。

回答No.1

BookerL

＞次は４２です

　次は ４３ ですね (^_^)

　「整数」とありますが、「自然数」として考えます。（負の数を考えると、「小さい数」が限りなくありますので）

　一番小さい ７ が見つかっていますから、この後は、３、４、６ の最小公倍数である １２ ずつ足した数も、この条件を満たします。
　ですから、５００ から ７ を引いたものを １２ で割ってみれば「５００より小さいもの」の数がわかります。（割った結果の整数部分 ＋ １ ですね。）

お礼

ありがとうございます