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確率？の問題で教えてください
はじめまして。 以下の確率？問題の解法を探しています。お分かりになる方が いらっしゃいましたら教えてください。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 【問題】 あるコインゲームのフロッグレースという遊びは、全5匹のうち、どの 蛙が1着になるか予想してコインを賭け、当った場合はその倍率に応じ たコインが獲得できるものです。このフロッグレースの機械には不具合 があり、あるレースでは賭け方によって必ず儲かるというレースが 出現します。 例えば以下のような場合です。 --------------------------- 倍率表 1番-赤蛙 --> 3.1倍 2番-緑蛙 --> 5.1倍 3番-青蛙 --> 5.8倍 4番-黄蛙 --> 6.6倍 5番-紫蛙 --> 8.3倍 --------------------------- この条件のレースで、どの番号の蛙に賭けても、賭けたコインの 総枚数より3枚以上多く獲得する場合に、各番号の蛙に何枚ずつ コインを賭ければよいか答えなさい。小数点はすべて切り捨て で計算するものとし、1着の同着はないものとします。 また、この「不具合」が発生している場合の条件はどのようなもの かについても答えなさい。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 上記問題で、不具合が発生している場合の条件については、 1番から5番のすべての倍率の平均値が5以上の場合？というのは なんとなくわかるのですが、各番号の蛙への賭け方の求め方が いまいちピンときません。。。 もしお分かりの方がいらっしゃいましたら、どうか教えてください。 宜しくお願いします。
- nerimaccho
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競馬ファンであれば、馬券の購入配分比率の問題としてよく思い悩んでいる（？）ことですが、まずどれが勝っても、儲かり方が同じようにするには、倍率の逆数に比例するように配分すればよいことになります。 問題を簡単にして、2匹のレースとします。Aが2倍、Bが3倍だったらどうか、この場合はA:B＝1/2：1/3=3:2 にすればよく、Aに3枚、Bに2枚(合計5枚）賭ければ、どちらが勝っても6枚もらえるので差し引き1枚プラスです。題意のように3枚プラスにするには、それぞれ3倍してAに9枚、Bに6枚賭ければよいことになります。 ただし、ご質問の問題は5匹のレースなのでちょっと計算が面倒です。例えば1番の赤蛙には、全体を1とすると（3.1の逆数/（3.1の逆数＋5.1の逆数＋5.8の逆数＋6.6の逆数＋8.3の逆数））だけ賭けることになります。 この1番が勝った時の配当は3.1倍なので、結局配当は、全体の（3.1の逆数＋5.1の逆数＋5.8の逆数＋6.6の逆数＋8.3の逆数）の逆数倍となります。この値は1.038…となります。これは厳密に倍率の逆数に比例するように配分したとき、何が勝っても「合計1の投資に対して1.038…の配当が得られる」（必ず儲かる）という意味です。 合計100の投資なら103.8…の配当でよさそうですが、配分を計算してみると1～5が33.50%、20.36%、17.90%、15.73%、12.51%となり、はしたが出て、これが面倒のもとです。賭けるコインの数を、仮に1～5で34、21、18、16、13とすると合計102個の投資に対して、3の5.8倍の場合だけ104個の配当で2枚しかプラスになりません。しかし3を19個にすると全体で103個賭けることになり、3枚プラスだった1と4もダメになります。 そこで微調整を繰り返した結果1～5に38、23、20、18、14個賭けたとき、合計113個の投資になりますが、1番か2番が勝った場合は117個、3番か5番が勝った場合には116個、4番が勝った場合には118個の配当が得られ、いずれも3枚以上のプラスで題意を満たすことが分かります。この組み合わせが、賭けたコインの総枚数より3枚以上多く獲得できる、合計が最小の個数となる場合だと思われますが、上の方法はいわば試行錯誤的なやり方で、厳密な証明ではありません。 なおこのケースのように「不具合」(賭ける側からいえば必ず儲かる「好都合」）が発生するのは、倍率の逆数の和が1に満たないときです。倍率の平均が５（蛙の数）以上の場合ではありません。これは倍率が1.0倍（元返し）という極端な例が含まれる場合を考えてみれば明らかです。
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- osu_neko09
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こんな考え方じゃ駄目でしょうか。 １．まずはどの蛙にも一枚は賭けないといけない。合計５枚。 1番-赤蛙 3.1 倍 1 枚賭け 3 枚戻る 2番-緑蛙 5.1 倍 1 枚賭け 5 枚戻る 3番-青蛙 5.8 倍 1 枚賭け 5 枚戻る 4番-黄蛙 6.6 倍 1 枚賭け 6 枚戻る 5番-紫蛙 8.3 倍 1 枚賭け 8 枚戻る 合計 5 枚賭けて最低 3 枚戻る ２．５枚賭けたので最低８枚は返ってこないといけないので、８枚未満しか戻らない蛙に、８枚以上になるようにコインを追加する。合計１０枚。 1番-赤蛙 3.1 倍 3 枚賭け 9 枚戻る 2番-緑蛙 5.1 倍 2 枚賭け 10 枚戻る 3番-青蛙 5.8 倍 2 枚賭け 11 枚戻る 4番-黄蛙 6.6 倍 2 枚賭け 13 枚戻る 5番-紫蛙 8.3 倍 1 枚賭け 8 枚戻る 合計 10 枚賭けて最低 8 枚戻る ３．１０枚賭けたので最低１３枚は返ってこないといけないので、１３枚未満しか戻らない蛙に、１３枚以上になるようにコインを追加する。合計１５枚。 1番-赤蛙 3.1 倍 5 枚賭け 15 枚戻る 2番-緑蛙 5.1 倍 3 枚賭け 15 枚戻る 3番-青蛙 5.8 倍 3 枚賭け 17 枚戻る 4番-黄蛙 6.6 倍 2 枚賭け 13 枚戻る 5番-紫蛙 8.3 倍 2 枚賭け 16 枚戻る 合計 15 枚賭けて最低 13 枚戻る ４．１５枚賭けたので最低１８枚は返ってこないと...（続く） 結果、以下の賭け方が題意を満たす最小枚数である。 1番-赤蛙 3.1 倍 38 枚賭け 117 枚戻る 2番-緑蛙 5.1 倍 23 枚賭け 117 枚戻る 3番-青蛙 5.8 倍 20 枚賭け 116 枚戻る 4番-黄蛙 6.6 倍 18 枚賭け 118 枚戻る 5番-紫蛙 8.3 倍 14 枚賭け 116 枚戻る 合計 113 枚賭けて最低 116 枚戻る
お礼
osu_neko09様 ご回答ありがとうございます。 osu_neko09様の解き方でも回答が導き出せることがわかりました。 （この場合は逆数の合計が1未満の場合になっていないと無限に 計算し続けることになるんでしょうか？） どうもありがとうございました。
- staratras
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No.3です。「うまいやり方」とは思えませんが、以下のようにしました。 34,21,18,16,13（合計102）からスタートし、「配当が3枚未満の番号の賭ける枚数を1増やす→他の番号で配当が3枚未満になったらその番号を1増やす」を、すべての番号で配当が＋3枚以上になるまで繰り返しました。 (1) 3を+1 (1,4が不足となる) (合計103) (2) 1,4を各+1(2,5が不足となる) (合計105) (3) 2,5を各+1(1が不足となる) (合計107) (4) 1を+1 (3が不足となる) (合計108) (5) 3を+1 (1が不足となる) (合計109) (6) 1を+1 (2,4が不足となる) (合計111) (7) 2,4を各+1(1が不足となる) (合計112) (8) 1を+1 (すべてOKとなる) (合計113）
お礼
staratras様 おはようございます。 さっそくのご回答ありがとうございます。 >配当が3枚未満の番号の賭ける枚数を1増やす→他の番号で配当が3枚未満になったらその番号を1増やす」 で良くわかりました。 どうもありがとうございました。
- nag0720
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＞1番の「≒33.50」は単純に100を3.1で割った値ではないように思えるのですが、 すみません。計算式が間違ってました。 倍率の逆数の合計は、0.963になります。 100/3.1ではなくて、100/(3.1*0.963)でした。
お礼
nag0720様 ご回答ありがとうございます。 大変良くわかりました。 どうもありがとうございました。
- nag0720
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それぞれに賭けるコインの比率を、倍率の逆数の比率にすれば、 どの蛙が１着でも獲得できるコインは同じ枚数になります。 例えばコイン１００枚を次のような比率で賭けると、 100/3.1：100/5.1：100/5.8：100/6.6：100/8.3 ≒33.50：20.36：17.90：15.73：12.51 どの蛙が１着でも獲得できるコイン数は103.8枚で、賭けた枚数より３枚以上多くなります。 実際は、賭けるコインも戻るコインも整数なのでこの通りにはなりませんが。 賭ける枚数をもっと多くすれば確実に３枚以上多く獲得することができます。 なお、「不具合」の条件は、倍率の平均値が5以上の場合ではなく、 倍率の逆数の合計が１未満の場合としたほうがいいでしょう。
お礼
nag0720様、ご回答ありがとうございます。 >100/3.1：100/5.1：100/5.8：100/6.6：100/8.3 >≒33.50：20.36：17.90：15.73：12.51 自分で上記を計算してみると 100/3.1：100/5.1：100/5.8：100/6.6：100/8.3 ≒32.26：19.61：17.24：15.15：12.05 となってしまうのですが、nag0720様の1番の「≒33.50」は 単純に100を3.1で割った値ではないように思えるのですが、 どうしてでしょう？ >なお、「不具合」の条件は、倍率の平均値が5以上の場合ではなく、 >倍率の逆数の合計が１未満の場合としたほうがいいでしょう。 上記納得しました。より数学っぽい解答ですね。 どうもありがとうございます。
お礼
staratras様 ご回答ありがとうございます。 詳細なご説明で大変わかりやすかったです。 お教え頂いた手順では、 (1) 配分計算した1～5の33.50%、20.36%、17.90%、15.73%、12.51% を、四捨五入して整数にする（34、21、18、16、13） (2) (1)の各数値を微調整する で、(2)の微調整の手順には何かうまいやり方はあるのでしょうか？ 自分で(1)の状態から試行錯誤で調整しようとしても、staratras様 の合計値113個になかなかなりませんでした。。。 すみませんが、ご回答頂ければ幸いです。 宜しくお願いします。