高校の場合の数の問題です。

質問

次のような場合の数の問題を考えています。

５人の人がそれぞれ１番から５番までの名札をつけている。
【１番の人】【２番の人】【３番の人】【４番の人】【５番の人】

この５人がが１番〜５番の番号の書かれた席につくとする．
【１番席】【２番席】【３番席】【４番席】【５番席】

このとき、「自分の名札の番号と同じ番号の席へは座らない」ような座り方は何通りあるか。

樹形図を書けば答えは４４通りと出てきます。
が、解答に
４×１×２＋４×３×３＝４４
と書かれてあり、この式の意味が分かりません。
どなたか教えていただけないでしょうか？
もしくは他の計算方法でも構いません。
よろしくお願い致します。

回答No.3

nezumi01

別の計算法を説明しましょう。

席を「１・２・３・４・５」の順で考える。

３つの席において、席と座る人が一致している場合：
「３つの席＝１、２、３」とすると、１通り（人の順番：１・２・３・５・４）

「３つの席」を別の席にして、２つの席と２人の人が同じように一致していない場合も考える。
（たとえば、３つの席を「１、３、５」とすると、人の順番は１・４・３・２・５）
「３つの席」の選び方は１０通り（５Ｃ３）なので、１×１０＝１０通り

２つの席において、席と座る人が一致している場合：
「２つの席＝１、２」とする。
座り方は全部で６通り（３！、３Ｐ３）。
その中で全て一致している場合は１通り。
１・２を含む３つの席で一致している場合：「１、２、３」、「１、２、４」および「１、２、５」が一致している場合が１通りずつ。
よって　６－１－１×３＝２通り。（１・２・４・５・３および１・２・５・３・４）

「２つの席」を別の席にして、３つの席と３人の人が同じように一致していない場合も考える。
（たとえば、２つの席を「１、３」とすると、人の順番は１・４・３・５・２および１・５・３・２・４）
「２つの席」の選び方は１０通り（５Ｃ２）なので、２×１０＝２０通り

１つの席において、席と座る人が一致している場合：
「１つの席＝１」とする。
座り方は全部で２４通り（４！、４Ｐ４）。
その中で全て一致している場合は１通り。
１を含む３つの席で一致している場合：「１、２、３」、「１、２、４」、「１、２、５」、「１、３、４」・・・などが一致している場

合が１通りずつなので、６通り（６Ｃ２）。
１を含む２つの席で一致している場合：「１、２」、「１、３」、「１、４」、「１、５」が一致している場合が２通り（これは先ほど求

めた）ずつ。
よって　２４－１－１×６－２×４＝９通り。

「１つの席」を別の席にして、４つの席と４人の人が同じように一致していない場合も考える。
９×５＝４５通り

全ての座り方（５！、５Ｐ５＝１２０通り）から、これらを引くと
１２０－１０－２０－４５＝４５通り
全て一致している座り方も１通りあるので、
全て一致しない座り方＝４４通り

おわかりいただけたでしょうか！？

回答No.2

banakona

「おそらく」なのですが・・・

４×１×２と４×３×３に分けて考えます。

Ａ．４×１×２
　　「４」は【１番の人】が着席できる席の数。
　　　　ここで仮に【１番の人】が【２番席】に座ったとすると、
　　　【２番の人】が【１番席】に座った場合（これが「１」）、残りの【３番の人】～【５番の人】が
　　　【３番席】～【５番席】に座らない場合を数えると２通り（超簡単なので
　　　数えてみて下さい）。これが「２」
　　　よって、４×１×２　

Ｂ．４×３×３
　　「４」はＡと同じ。
　　Ａと同様、【１番の人】が【２番席】に座ったとすると、【２番の人】は
　　　【３番席】～【５番席】の３席に座れる（【１番席】はＡで座っているので除外）。
　　　これが１つ目の「３」。
　　　残りの【３番の人】～【５番の人】の座り方は、【２番の人】がどこに座ったかに
　　　関わらず３通り（簡単なので数えてみて下さい）。これが２つめの「３」
　　　よって４×３×３

ＡとＢを足して、４×１×２＋４×３×３

回答No.1

nious

これは「完全順列」と呼ばれる順列です。
漸化式を作り解くと、要素数がnの場合には
n!Σ[k=0～n](-1)^k/k!通りになります。
n=5の場合なら、5!*{1-1+(1/2!)-(1/3!)+(1/4!)-(1/5!)}=44 と求められます。