- ベストアンサー
表面積が最小
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
高次元は難しいので参考URLを見てみてください。 ちなみに2次元の円の面積と周囲の長さで考えると分かりやすいかと思います。 円(半径r)の4分の1の扇形を想像してみて下さい。 円弧と同じ長さ(1/2*πr)の直線を考えると(円弧の部分をまっすぐにしたものを考える)と、扇形の面積(1/4*πr^2)より、円弧の部分をまっすぐにした三角形の方(底辺が1/2√2*πrの直角三角形)の面積の方が大きくなります。(糸とかで作って見るとわかりやすいかも) それを3次元に当てはめると球の表面積と体積の関係になります。古くは古代ギリシャ時代からしられていたようですよ。昔の人はすごいですね。
その他の回答 (2)
- grothendieck
- ベストアンサー率62% (328/524)
おそらくいろいろな方法があるでしょうが、変分法の計算を示します。極座標をとり、物体表面の原点からの距離rをθとφの関数とします。するとこれは 表面積=∫r^2sinφdφdθ = S が一定という制約条件の下で 体積=(1/3)∫r^3sinφdφdθ を最大にするという変分問題になります。ラグランジュ乗数をλとし、汎関数を I[r, r',φ] = ((1/3)r^3 + λr^2)sinφ とすると、オイラー方程式は、 (r^2 + 2λr)sinφ = 0 となって r = -2λ =const すなわち、rがθ、φに依存しない定数である時に最大であることが示せます。表面積で表わすと、 r=(1/2)√(S/π) となります。厳密にいうと、最大であることを示すには第二変分などを考える必要があります。
お礼
ぬぬぬ・・・ラ・らぐんじゅ乗数?オイラーほうていしき?(オイラーさんはすごい数学者だったのはしってますが。) だめです。イマの僕には高度すぎです。 レベルが上がったらまた見てみることにします。 ありがとうございました。
- Mell-Lily
- ベストアンサー率27% (258/936)
このような問題を扱う数学の分野を、変分法と言います。
お礼
変分法。知らない・・・。解けない。困った・・・。 経験値をためて出直します。 ありがとうございました。
関連するQ&A
- 微積を使わずに球の表面積や体積を求めるには?
微積を使わずに球の表面積や体積を求めるには? 高3で微積を習うまでずっと疑問だった球の表面積と体積の公式ですが 微積を使わずに求めるにはどうしたら良いでしょうか? 錐体の体積が柱体の体積の1/3になることは使って良いこととしたいと思います (従って、表面積でも体積でもどちらか一方の求め方がわかれば十分です)。 また「求める」程でなくとも「直感的に理解できる」程度でも結構です (例「球の表面積は、直径を含む球の断面のちょうど4倍になるんだなぁ」) が「球形や円柱形の容器に入れる」ようなものではなく あくまで思考実験で理解できるようなものでお願いします。 ↓のような質問は見かけたのですが http://okwave.jp/qa/q318118.html No.2も4も明らかに微積を使ってますよね。 ちなみに中学生とかに教えることを目的としたものではなく 高3までに公式の理由を知る方法があったのかどうか個人的に知りたいだけです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 表面積を最小にする炒飯の盛り方を教えてください
先日炒飯を作ったあとしばらく放っていたら、すっかり冷めてしまいました。 そこで、表面積を小さい盛り付け方にすれば熱が奪われにくいと考え 早速紙とペンを取り出したのですが、当方高校数学の知識をすっかり忘れてしまっており式が立てられません。直方体の最小表面積を計算するのがやっとで、すぐにお手上げ状態になってしまいました。 どのような形状のとき、炒飯は表面積を最小にできるのでしょうか? 条件は ・空気と接する表面積を最小にする(皿に接地する部分の面積は考えない) ・炒飯の形状は問わない(例えば煙突型など、実際の炒飯では不可能なものでもOKとします) ・皿は無限平面とする 以上です。 くだらない質問かもしれませんが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 球の表面積・体積の公式を…
球の表面積・体積の公式を… 球の 表面積も体積も 4や3/4を使っていた気はするのですが… それ以上は思い出せず(~_~;) なので どちらかだけでもお分かりの方は ぜひ 教えて下さい!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 体積と表面積の関係について
体積と表面積の関係で質問があります. たとえば,球は体積 4πr^3/3 を r について微分したものが表面積になりますが, 一般的な立体についてはどうなのでしょうか? 一般的な立体について,体積と表面積には何らかの関係があるのでしょうか? ぜひ教えてください!
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
どうもありがとうございます。 結構簡単なのだろうと思っていたらこれは難しい! 自分のわかる範囲内だと思っていたのですが・・・ それにしても、昔の人はどうしてそんなにすごいのか。