立体の表面積 最小

質問

同体積の場合、表面積が最小になる立体の形状は球。

とのことです。

では、平らな平面上に体積不変の立体を置いて、その平面と共通する部分の面積をその立体の表面積に含めないとすると、どのような形状の立体が表面積最小となるのですか。

例えば、粘土を粘土板に置いて、空気と触れるのを最小限に抑える場合の粘土の形状。

条件

立体の一部は平面に接する。
分離させてはいけないが穴を開けることは可能。
表面積とは粘土でいう外気に触れる部分であって、例えば泡のような内部構造がある場合、そこにある空気は外気といわない。

回答No.5

ramayana · ベストアンサー

半球のような気がします。あんちょこですが、次のように考えたらどうでしょうか。

体積を V に固定して、底面以外の表面積が最小になる立体があったとして、その立体を A と名付けます。Aの（底面以外の）表面積を S とします。もし、 S が半円の表面積より小さければ、

[1]　　2S < (9/(4π))^(1/3)(2V)^(2/3)

です。背理法を使うことにして、もし、 [1] が成立したとすると、矛盾が生じることを言います。

A の鏡像を持ってきて、 A' とします。 A と A' を底面同士で張り合わせてできる立体を B とします。 B の体積は 2V で、表面積は 2S です。ところが、体積一定の立体で表面積を最小にするのが球であることから、

[2]　　2S ≧ (9/(4π))^(1/3)(2V)^(2/3)

でなければなりません。これは、[1] と矛盾します。

お礼

回答ありがとうございます。

これは直感的であり、かつ反論が思いつかず、とてもエレガントな考え方だと思いました。
半球が答えで正しそうですね。

自分にはそれが正解か確かめる能力がないのでなんとも言えませんが、かなり正解に近づかせてもらいました。そして納得しました。

確認になりますが、球の表面積と体積の比例式が少し間違っている様な気がしますが、どうでしょうか。

回答No.6

ramayana

「球の表面積と体積の比例式が少し間違っている様な」（ANo.5）

失礼しました。再計算したら、球体の比例式は、

　　2S = (36π)^(1/3)(2V)^(2/3)

になりました。

回答No.4

ask-it-aurora

> これはつまりプールのような状態ととらえて正しいですか？
そんな感じです. もう少し詳しく言うと「正方形のプールに水が入っているときに上から平たい板で水を底に押し付けるならば(斜めにするよりも)底と平行にしたほうが板の面積は小さくて済みますよ」ってことです.

> x,yの定義域のふちの部分でh(x,y)>0になるので、側面積が積分で計算されないということですか？
正方形の境界で関数 h がガタガタしているので S[h] の値が"表面積"と一致しない, と表現したほうがよいかな？(なめらかでない関数を微積分で扱うのは難しいのです.)

> Rも変数にすることで側面積はh(x,y)=定数 より普通に計算できるので、この仮定における解(立方体?)も生まれますか？
えーっと. むしろ前の解答は上で述べたように平たい板で水を底に押し付けたらどうするのが一番よいか, という問いに答えるものです. 本当に興味がある(と思われる)のはビニールシートのようなひらひらと自在に変形できるもので水を閉じ込めたときにどんなかたちにするのが一番ビニールシートの面積を小さくできるのか, です. なので h(x, y) = ax + by + c みたいな特殊な場合ではなくて
h(x, y) = Σ c_{mn} x^m y^n
みたなもっと一般の関数たちを相手に表面積比べをしないと解はよくわかりません. また h がガタガタしていると上のような問題が生じてしまうのでなめらかなものに限定しないと難しいのではないかなぁ.

お礼

これが何の分野なのかさえ不明でしたので、変分法という新しいものを知ることができました。
また、このような問題に対する構え方というのも少し知ることができました。

考えてくださり、感謝しております。

もう少し待って他の人の考えも聞きたいと思っています。

回答No.3

ask-it-aurora

おもしろそうな問題ですね. ものすごく特別な場合はかんたんに解けたので参考までに…

[仮定]
"粘土"は一辺 R > 0 の正方形の中に閉じ込められていて, その形は高さ関数 h(x, y) ≧ 0 で決定されるとする(つまり"粘土"はコの字型になったりしない, supp(f) ⊆ { (x, y) | -R/2 ≦ x, y ≦ R/2 }). 関数 h は可積分かつ x, y でそれぞれ偏微分可能.

[定式化]
体積
V[h] = ∫∫dxdy h(x, y)
を一定値 V0 に保ったまま表面積
S[h] = ∫∫dxdy sqrt((1 + (dh/dx)^2)(1 + (dh/dy)^2))
を最小にするような関数 h を求めよ.

[ものすごく特別な場合]
上の定式化はとても自然だと思うのですが, このままだと難しくて解けなかったので(汗)
h(x, y) = ax + by + c
という形(ただし a, b, c は定数)の場合だけを考えます(!?).
すると上の定式化より
V[h] = cR^2,
S[h] = R^2 sqrt((1 + a^2)(1 + b^2))
となるので
a = b = 0, c = V0/R^2
のとき, つまり定数関数 h(x, y) = V0/R^2 のときに表面積 S[h] は最小となります.

[問題点]
最初の定式化を採用して, かつ高さ関数の形を限定してしまったがために上の結果で与えられる関数 h はなめらかに 0 にならず, したがって"表面積" S[h] からは"本当の"表面積の側面部分が抜けてます. もう少し定式化の部分をキツめに設定してこのような関数 h は解の候補から外したほうが良いかも…

## この手の問題をきちんと解くにはきっと「変分法」と言われる手法が必要でしょう. (僕もあまり詳しくありませんが, よければ調べてみてください.) たぶんしばらく待っていれば他の回答者さんがずっと良い答えを書いてくれる気がします.

補足

これはつまりプールのような状態ととらえて正しいですか？

x,yの定義域のふちの部分でh(x,y)>0になるので、側面積が積分で計算されないということですか？

Rも変数にすることで側面積はh(x,y)=定数 より普通に計算できるので、この仮定における解(立方体?)も生まれますか？

回答No.2

MagicianKuma

面白い問題ですねぇ。初めて聞いた問題かも。
自信ないけど、半球では？

お礼

自分も感覚(あてにならない)的には半球か球かとは思っているのですが。不明です。

回答No.1

oo14

正二十面体？　それとも正４面体？例えばからわからなくなりました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%8C%E5%8D%81%E9%9D%A2%E4%BD%93
無限に薄い正方形の板ですかね。

お礼

文章わかりづらくてすみません。
無限に薄くするとどんどん表面積大きくなる気がします！