円錐の側面積最小化

質問

底辺の円の半径がX、母線がYのとき、体積を一定のまま、側面積を最小化する。
このときの、X,Yの組み合わせがわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.5

incd

No3 は問題の読み間違いでしたので無視してください(＞_＜)

回答No.4

kkkk2222

半径がＸの円周は２πＸ、側面を展開図にした扇方の弧も２πＸ
半径Ｙの円の面積はπ（Ｙ＾２）

側面積Ｓ＝【π（Ｙ＾２）】【２πＸ／２πＹ】＝πＸＹ

円錐の高さは√（（Ｙ＾２）ー（Ｘ＾２））
体積Ｖ＝（１／３）【π（Ｘ＾２）】【√（（Ｙ＾２）ー（Ｘ＾２））】が一定。

（（体積Ｖ）＾２）＊９÷πは一定　

（Ｘ＾４）【（Ｙ＾２）ー（Ｘ＾２）】＝Ｐ（定数）として
（Ｘ＾４）（Ｙ＾２）ー（Ｘ＾６）＝Ｐ

Ｙ＝ＫＸとおくと
（Ｙ＾２）＝（Ｋ＾２）（Ｘ＾２）
（Ｘ＾４）（Ｋ＾２）（Ｘ＾２）ー（Ｘ＾６）＝Ｐ
（Ｘ＾６）（Ｋ＾２）ー（Ｘ＾６）＝Ｐ
（Ｘ＾６）【（Ｋ＾２）－１】＝Ｐ

Ｓ＝πＫ（Ｘ＾２）
Ｓ／π＝Ｋ（Ｘ＾２）
Ｓ／π＝ｓ　と置きなおして
ｓ＝Ｋ（Ｘ＾２）
ｓが最小となるようにＫを求めることになる。
（Ｘ＾２）＝ｓ／Ｋ
（Ｘ＾６）＝（ｓ／Ｋ）＾３

【（ｓ／Ｋ）＾３】【（Ｋ＾２）－１】＝Ｐ

（ｓ＾３）／Ｐ＝（Ｋ）＾３／【（Ｋ＾２）－１】
【（ｓ＾３）／Ｐ】’＝（（Ｋ）＾２）【（Ｋ＾２）－３】／【（Ｋ＾２）－１】＾２

よって、Ｋ＝√３のとき　ＳはＭＩＮ
すなわち、解は　Ｘ：Ｙ＝１：√３

お礼

ありがとうございます＞＜★

回答No.3

incd

間違っていたらごめんなさい。

円錐で、半径と母線の長さが定まったら、円錐の形は１つに決まっちゃいませんか？？

補足

すいません＞＜！
XとYの組み合わせではなく、XとYの比でした＞＜！

回答No.2

noname#221368

母線って、底の円周から頂点に向かって測った、側面の長さでしたっけ？。これが違ってたら、以下は御免なさい。

　とにかく底の半径Ｘと母線Ｙが与えられているんですから、体積の公式と側面積の公式を、しれっと書いちゃいましょうよ。その際、足りない変数である母線と底面の角度θを導入するのもありです。そして、それを眺めてみたらどうでしょう？。けっこうアイデアが浮かぶもんです。

　まずは状況調査から・・・。

回答No.1

gururinbus

ラグランジュの未定乗数法かなんかを使って考えてみてはどうですか？