点数の求め方について

質問

下記問題について質問です。
AとCの点数の差が15点、CとDの点数の差が5点というのは分かるのですが、そのあとが思いつきません。
すいませんが、解き方を教えてください。
解答は78点です。
よろしくお願いします。

A,B,C,D4人のテストの合計点は353点であった。AはBより高い点を取り、その差はBとDの点数の差の1/4であった。また、AとCではAのほうが15点高く、AとCの点数の差はCとDの点数の差の3倍であった。Dの点数が一番低いとき、Dは何点か。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ＡとCの差が１５点、CとDの差が５点なのでAとDの差は２０点です。また、AとBの差はBとDの差の１／４で、両者の合計は（AとDの差に等しいので）２０点です。つまりAとBの差は４点、BとDの差は１６点です。従ってDを基準にして考えると
A：＋２０点
B：＋１６点
C:＋５点
D：０点
という差がついたということです。４人の点を合計するとそれはDの点の４倍に２０＋１６＋５を足したものになります。従ってDの点は
（３５３－４１）／４＝７８点
となります。

補足

ご回答ありがとうございます。
途中までは理解できましたが、
＞４人の点を合計するとそれはDの点の４倍に２０＋１６＋５を足したものになります。
ここの部分だけ分からなかったので再度解説お願いします。

回答No.5

ORUKA1951

こういう問題は、パズルとして解くか、きちんと方程式を立てて解くかで悩むのですが、基本は式を立てて方程式としてとくのが本来の方法です。鶴亀算で解くか連立方程式で解くか？？
　パズル的な解きかたは、ひらめくと早いのですが、もしひらめかなければ延々と悩むことになります。そしてもなによりも応用が利かない。誰でも機械的に処理すれば解ける連立方程式を立てて解く癖をつけましょう。
基本は、
（1）問題分をよく読んで未知数の数だけ独立した式を作成する。この手の問題は必ず４つ未知数があれば４つの式が文章として書かれているはず。よく読んで機械的に式を立てる。
(2)連立方程式を解く

　私が、No.2で示した方法は、連立方程式を左辺に未知数の関係、右辺に定数を置いて、それから未知数と＋記号を省略して計算する方法です。手間はかかっても、間違えにくい誰でも解ける方法です。
　従って、ポイントは最初の式を作るところになります。問題文と見比べて、なぜ、あのような式になるかをしっかり身につけたほうが将来役に立つでしょう。数学は計算能力ではなく、式を立てることなのですからね。パズルとは違う。

回答No.4

stomachman

カンを頼りにこねくり回すんじゃなしに、問題文をそのまま式にしておいて、出来るだけ機械的に処理するやり方を学ぶことが、どうやら必要そうですな。A,B,C,Dの点数をそれぞれa,b,c,dとしましょう。
　問題文には
(1) a+b+c+d=353
(2) a>b
(3) |a-b|=(1/4)|b-d|
(4) a-c=15
(5) |a-c|=3|c-d|
(6) a>d
(7) b>d
(8) c>d
と、これだけのことが書いてある。ここに、|a-b|というのはaとbの差の絶対値、つまり符号を無視した差のことです。だから|a-b|は、もしa＞bならa-bと同じだし、もしa＜bならb-aと同じ。
　絶対値はめんどくさいっすよね。うっとうしいんで、絶対値の記号にはなるべく消えて貰いたい。

　さて、(2)からa＞bなのだから|a-b|はa-bと同じ。従って
|a-b|=a-b
だと分かる。
　また、(8)から
|c-d|=c-d
だと分かる。(7)から
|b-d|=b-d
が分かる。さらに(4)から
|a-c|=15
と分かるので、絶対値はめでたく全部取り払うことができて、
(1) a+b+c+d=353
(2) a>b
(3) a-b=(1/4)(b-d)
(4) a-c=15
(5) 15=3(c-d)
(6) a>d
(7) b>d
(8) c>d
である。

　ここからが本番です。4つある未知数a,b,c,dのうち、他の未知数を使って表せるものを見つけて、取り除いていきます。
　(5)の両辺を3で割って
5=c-d
両辺にdを足すと
5+d=c
つまり
c=d+5
だと分かる。これでcをdで表せた。(1)～(8)のcに代入して
(1) a+b+(d+5)+d=353
(2) a>b
(3) a-b=(1/4)(b-d)
(4) a-(d+5)=15
(5) 15=3(d+5-d)
(6) a>d
(7) b>d
(8) d+5>d
成り立ってアタリマエの式を捨てて整理すると
(1) a+b+2d+5=353
(2) a>b
(3) a-b=(1/4)(b-d)
(4) a-d-5=15
(5) 15=3(d+5-d)
(6) a>d
(7) b>d
　さて、(4)の両辺にd+5を足せば
a=d+20
である。これでaをdで表せた。代入すると、
(1) (d+20)+b+2d+5=353
(2) d+20>b
(3) d+20-b=(1/4)(b-d)
(4) d+20-d-5=15
(5) 15=3×5
(6) d+20>d
(7) b>d
成り立ってアタリマエの式を捨てて整理すると
(1) b+3d+25=353
(2) d+20>b
(3) d+20-b=(1/4)(b-d)
(7) b>d
が残る。
さて、(3)の両辺を4倍すると
4d+80-4b=b-d
なので、両辺に4b-4dを足すと
80=5b-5d
両辺を5で割って
16=b-d
両辺にdを足して
16+d=b
つまり
b=d+16
である。これでbをdで表せた。代入すると
(1) (d+16)+3d+25=353
(2) d+20>d+16
(3) d+20-(d+16)=(1/4)(d+16-d)
(7) d+16>d
アタリマエの式を捨てて整理すると
(1) 4d+25+16=353
だけが残る。両辺から(25+16)を引いて
4d=353-(25+16)
両辺を4で割って
d=78
である。
　従って、
a=d+20=98
b=d+16=94
c=d+5=83
である。
　最後に、果たしてこれでハナシが合ってるかどうか、(1)～(8)に代入して検算してみること。

回答No.3

gohtraw

文字で書いたものだけ見ていてもなかなかイメージしづらいので数直線上にＡからDの点を取り、判っていること（例AとCの差など）を書き込んでいくといいですよ。こんな（↓）感じかな。

　│←－１５－－→│←５→│
　Ａ－－－Ｂ－－－Ｃ－－－Ｄ

回答No.2

ORUKA1951

一応数学カテゴリーに質問されているので、数学としてとくと、未知数が４つなので独立した４つの式を立てる。深く考えないで、文章通りに式にすると
A　+　Ｂ　+　Ｃ　+　Ｄ　＝ 353
4*(Ａ　-　Ｂ)　＝　Ｂ　-　D　　　　←(注意)Dが最も低得点なので
Ａ　-　Ｃ　＝　15
Ａ　-　Ｃ　＝ 3*(Ｃ　-　Ｄ)　　　←(注意)Dが最も低得点なので

★問題分からはDだけとけばよいのだけれども、全部解いちゃえ★

式を変形して並べ替える。
A　+　Ｂ　+　Ｃ　+　Ｄ　＝ 353
4Ａ + (-5)Ｂ　　　+　Ｄ ＝　0
Ａ　　　　　+ (-Ｃ)　　　＝　15
Ａ　　　　　+ (-4Ｃ)　+ 3Ｄ ＝ 0

1　 1　 1　 1　｜ 353　　・・・・(1)
4　-5　0　 1　｜　 0　　・・・・(2)
1　 0 -1　0　｜　15　　・・・・(3)
1　 0　-4　 3　｜　 0　　・・・・(4)

(4) - 4*(3),(1) + (3)
2　 1　 0　 1　｜ 368　　・・・・(1')
4　-5　0　 1　｜　 0　　・・・・(2)
1　　0 -1　0　｜15　　・・・・(3)
-3　0　0　 3　｜-60　　・・・・(4')

(4')/3
2　 1　 0　 1　｜ 368　　・・・・(1')
4　-5　0　 1　｜　 0　　・・・・(2)
1　　0 -1　0　｜15　　・・・・(3)
-1　0　0　 1　｜-20　　・・・・(4")

(2) + 5*(1)
2　 1　 0　 1　｜ 368　　・・・・(1')
14　0　 0　 6　｜1840　　・・・・(2')
1　　0 -1　0　｜15　　・・・・(3)
-1　0　0　 1　｜-20　　・・・・(4")

(2)+14*(4)
2　 1　 0　 1　｜ 368　　・・・・(1')
0　 0　 0　 20 ｜1560　　・・・・(2')
1　　0 -1　0　｜15　　・・・・(3)
-1　0　0　 1　｜-20　　・・・・(4")

(2")/20
2　 1　 0　 1　｜ 368　　・・・・(1')
0　 0　 0　 1 ｜　　78　　・・・・(2")
1　　0 -1　0　｜15　　・・・・(3)
-1　0　0　 1　｜-20　　・・・・(4")

-{(4")-(2")}，
2　1　 0　 1　｜ 368　　・・・・(1')
0　0　 0　 1 ｜　78　　・・・・(2")
1　0 -1　0　｜　15　　・・・・(3)
1　0　0　 0　｜　98　　・・・・(4"")

-{(3) - (4"")}
2　1　 0　 1　｜ 368　　・・・・(1')
0　0　 0　 1 ｜　78　　・・・・(2")
0　0 　1　0　｜　83　　・・・・(3)
1　0　0　 0　｜　98　　・・・・(4"")

(1') - 2*(4"") - (2")
0　1　 0　 0 ｜　94　　・・・・(1")
0　0　 0　 1 ｜　78　　・・・・(2')
0　0 　1　0　｜　83　　・・・・(3)
1　0　0　 0　｜　98　　・・・・(4"")

並べ替えて
1　0　0　 0　｜98　　・・・・(4"")
0　1　 0　 0　| 94　　・・・・(1")
0　0 　1　0　｜83　　・・・・(3)
0　0　 0　 1 ｜78　　・・・・(2')

Ａ　　　　　　　= 98
　　Ｂ　　　　　=94
　　　　C　　　=83
　　　　　　D　=78
かな・・

すみません、勝手に遊んでしまった。