図形問題について

質問

中学3年の問題で解らないので解き方と回答を教えて下さい。
問題は、添付しますので宜しくお願いします。

回答No.9

kenjoko · ベストアンサー

正三角形になることの証明ですが、
線分ＢＣを直径とする円の円周上にＥ点、Ｄ点があり、線分ＥＤを線分ＢＣと平行になる位置に線分ＢＣを直径とする円の円周上に移動します、線分ＢＣの中心点をＦ点ＦとしますとＦ点からＥ点、Ｄ点までが線分ＢＣの半径の3ですので線分ＥＤも3で三角形ＥＤＦは、三辺が３の正三角形になります。よって三角形ＡＢＣも三角形ＥＤＦと同じ比ですので正三角形になります。

※　線分ＢＣの中心点をＦ点Ｆとしますと
点Ｆは既に使用されているので、Ｆとするのは不適。
この点は円の中心でもあるので、一般的には点Ｏ（大文字のオー）

もう少しスマートに証明しましょう。問題に出てくる図形を用いて

（点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅが同一円の円周上あることがすでに示めされているので）

証明　　　点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅのある円を円Ｏ、円の中心をＯとする

点Ｏは線分ＢＣの中点であるから、線分ＯＤ、ＯＥは共に円Ｏの半径である。

ＤＥ＝ＯＤ＝ＯＥ＝３　より

ΔＯＤＥは正三角形となるので、∠ＯＤＥ＝６０°

ＢＣ//ＥＤより　∠ＤＯＣ＝∠ＯＤＥ（錯角が等しい）

よって　ΔＤＯＣ≡ΔＯＤＥ　同様にΔＥＢＯ≡ΔＯＤＥ　

　∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°　

したがって、∠ＢＡＣ＝60°　などです。

この問題はこれで終わりとしますが、正解をするより、重要な点がある。

この問題から得たことを、まとめておくことである。こうすることによって、似たような問題が次、次と解けるようになる。

例えば
　　　　円周角については　

等しい弧に対する円周角はそれぞれ等しい。
特に、直径を弦に持つ弧の円周角９０°である。　　など

あとは、三角形の相似条件、

平行線の性質（同位角、錯角等）

本問題にかかわって感じたこと

今の時代、子供の勉強に、これほど真剣に向き合っている親がどれほどいるだろう。大抵の親たちは子供を塾などに通わせて終わりである。
家族のコミュニケーションもなければ、子供も親を尊敬しなくなるだろう。

その点で質問者親子は幸福である。

お礼

kenjokoさん、何度もご回答頂き有難う御座いました。
今回の問題で色々考え、数学が楽しくなりました。
今後も解らない問題がありましたら質問をしますのでその時は宜しくお願いします。

回答No.8

kenjoko

kenjoko

ごめん、正三角形になりますね。

よく、みつけましたね。

よって、１００点です。

できれば、正三角形になることを証明してください。

お礼

kenjokoさん、何度も回答頂き有難う御座います。
正三角形になることの証明ですが、
線分ＢＣを直径とする円の円周上にＥ点、Ｄ点があり、線分ＥＤを線分ＢＣと平行になる位置に線分ＢＣを直径とする円の円周上に移動します、線分ＢＣの中心点をＦ点としますとＦ点からＥ点、Ｄ点までが線分ＢＣの半径の3ですので線分ＥＤも3で三角形ＥＤＦは、三辺が３の正三角形になります。よって三角形ＡＢＣも三角形ＥＤＦと同じ比ですので正三角形になります。

回答No.7

kenjoko

No.６です

ＥＤとＢＣは平行にならない。

ごめん、問題の図だと、なりますね。

解答者は前回の図２を用いて下さい。

こうなったら、とことん付き合うぞ。

お礼

kenjokoさん、図2から考えて解りました。
三角形ＢＥＣは、線分ＢＣが６、線分ＥＣが３の直角三角形で線分ＢＥを軸として反転させると一辺が６の正三角形となります。∠ＥＢＣは、30度、∠ＢＣＥは、60度となり、三角形ＢＥＣは、三角形ＡＢＣと同じ比ですので三平方定理で線分ＡＣをＸとすると線分ＡＢは、２Ｘ　線分ＢＣは、６ですので線分ＡＣは、2√3となり∠ＢＡＣは、60度になりました。

回答No.6

kenjoko

残念！答えは合っているが、考え方が間違っているので０点。

私は答えより、考え方を重視します。

線分ＥＤの長さを3として線分ＢＣと平行になる位置まで移動すると三角形ＡＢＣは、正三角形となり

どのように移動したのかは分からないが、ＥＤとＢＣは平行にならない。

また、正三角形になるかどうかは分からない。

本問は、

ΔＡＢＣ∽ΔＣＢＥ∽ＡＣＥと、内角がそれぞれ３０°、６０°、
９０°の三角形を用いて解く問題です。

もうひと頑張り・・

回答No.5

kenjoko

No.４です

「線分ＢＣと線分ＢＣが垂直なのは」を

「線分ＢＣと線分ＡＣが垂直なのは」に

「線分ＢＣが円の直径で、線分ＢＣがその円の接線であるから」を

「線分ＢＣが円の直径で、線分ＡＣがその円の接線であるから」に

それぞれ、訂正します。

お礼

kenjokoさまの回答通り線分ＥＤの長さを3として線分ＢＣと平行になる位置まで移動すると三角形ＡＢＣは、正三角形となり∠ＢＡＣは、60度で線分ＡＦは、2√3になりました。

回答No.4

kenjoko

∠ＢＡＣ＝９０度ー∠ＥＣＢについて考えていましたが

∠ＡＥＣ＝９０度ですので∠ＢＡＣ＝９０度ー∠ＥＣＡではないでしょうか？

確かに間違いですね。しかし、∠ＢＡＣ＝９０度ー∠ＥＣＢではないですね。

正しくは、∠ＢＡＣ＝９０度ー∠ＥＣＤ　または９０度ー∠ＥＢＤ　です。

ここはあまり気にすることはない。ただ、線分ＤＥの長さが一定ならば、点Ｄ、Ｅがどこにあっても∠ＢＡＣも一定だということです。

添付した右側の図をイメージできますか？

点Ｄ、Ｅを移動して、点Ｄを点Ｃに重ねると点Ｆも点Ｃに重なる。
そうしてできた三角形が図２です。線分ＢＣと線分ＢＣが垂直なのは、

線分ＢＣが円の直径で、線分ＢＣがその円の接線であるから。

あとは、息子さんと二人で解いて下さい。

その上で分からなければ再度質問して下さい。

お父さんでしょうか？中卒といわれていますが、分数のできない大学生もいっぱいおりますし、ほとんどの大人は、中学レベルの数学もできません。

中卒だから分からないなどと言わず、この機会に息子さんと二人で数学をやり直してみて下さい。

親子関係も息子さんの成績も、いい方向に向かう筈です。

回答No.3

kenjoko

質問者は分かったのか、分からないのかはっきりしろ！

お礼

kenjokoさん、すみません。中卒の私が中学の息子に質問され同じような3問題が解らなくこのサイトに質問をしました。∠ＢＡＣ＝９０度ー∠ＥＣＢについて考えていましたが∠ＡＥＣ＝９０度ですので∠ＢＡＣ＝９０度ー∠ＥＣＡではないでしょうか？三角形ＡＢＣが正三角形ですと∠ＢＡＣ＝９０度ー∠ＥＣＢになると思うのですが問題の図では、正三角形では、ないと思うのですが？先日から考えていますがまだ回答が出ませんので宜しくお願いします。

回答No.2

kenjoko

少しはご自分で解いてみましたか？

前の質問を理解していれば解ける問題なのですが。

本問も円周角の性質を用いて解きます。

添付した図の１は本問をイメージしたものです。

∠ＢＤＣ＝∠ＣＥＢ＝∠Ｒより点Ｅ、Ｂ、Ｃ、Ｄは同じ円周上にあり、線分ＢＣはこの円の直径になります。

また∠ＢＡＣは、線分ＥＤが一定の値を保持していれば点Ｅ、Ｄがどこにあっても一定です。

∠ＢＡＣ＝９０度ー∠ＥＣＢ

∵三角形の内角の和の関係と、∠ＥＣＢは同じ弧（弦）に対する円周角であるので常に一定であることから。

ＥＤ＝３を保持しながら、点Ｄと点Ｃを重ねると、点ＦもＣと重なり

図２のようになる。あとはご自分で、（１）、（２）とも一挙に解けるはずです。

回答No.1

kenjoko

こまった君ですね。前にも同じような質問を何回かしてますよね。一つの問題を理解してから次の質問をしよう。

この手の問題は一つ問題を解いたら、それを応用してつぎの問題につなげていくのです。そうしないとあなたは死ぬまで質問し続けなければなりません。

また、問題を一つ、一つ暗記するのは不可能で同じ問題が同じパターンで出ることはないと思って下さい。