点（1.a)を通り、y=x^3-xに接する直線が３本引けるとき、aの範囲を求めよ

質問

点（1.a)を通り、y=x^3-xに接する直線が３本引けるとき、aの範囲を求めよ　
解答と解説が知りたいです。　
おねがいします。

回答No.2

noname#108210

接点の座標を(t,t^3-t)と置くのが良いでしょう。
y'=3x^2-1　なので，接線の方程式は
y-(t^3-t)=(3t^2-1)(x-t)‥‥(1)

(1)が点(1,a)を通る条件から
a-(t^3-t)=(3t^2-1)(1-t)

これを整理して
-2t^3+3t^3-1=a

これを２つのグラフにわけて考える。
y=-2t^3+3t^3-1‥‥(2)
y=a　 ‥‥‥‥‥‥(3)

(2)の増減表をつくり，グラフの極大値，極小値を
求めると，
極大値＝0　(x=1のとき)
極小値＝-1　(x=0のとき)

これから，直線y=a　と交点が3個の範囲は
-1<a<0

細かな計算は自分で確認すること。

回答No.1

gramin

3次曲線と直線が接するとは、ある点を共有して、しかもその点での傾きが同じということですよね。
点（1.a)を通る直線というのは、
y=m(x-1)+a　または　x=1（y軸に平行な直線）
なので、これがy=x^3-xと点を共有して、かつ、傾きが同じになるような解が3つあるような条件を探ってはいかがでしょう。