初等関数について！

質問

初等関数について！

初等関数についての質問です．

α，β，γ，φ，ψをすべて初等関数とします．
ψは，αとβの初等関数で，ψ(α,β)と書いておきます．
φは，γとβの初等関数で，φ(γ,β)と書いておきます．
α，β，γ，φ，ψのあいだには，

α＝φ(γ,β)　⇔　γ＝ψ(α,β)　　・・・　《＊》

が成り立つものとします．

質問（１）：　《＊》が無条件で成り立つ初等関数には，
　　　　　　　どのような関数がありますか？

質問（２）：　条件付きで《＊》が成り立つ初等関数には，
　　　　　　　どのような関数がありますか？
　　　　　　　その条件とは，どの様な条件ですか？

質問（３）：　《＊》が全く成り立たない初等関数には，
　　　　　　　どのような関数がありますか？

(注)：初等関数とは，代数関数，三角関数，逆三角関数，指数関数，
対数関数，および，これらの関数を用いた有限回の計算操作で得られる，
実数，または，複素数変数の関数をいいます．

上記の３つの質問のうち，いずれか１つの回答でも結構です．
また，気づかれたことは遠慮なく，何でも回答として，
お寄せ頂けますと参考となり，助かります．

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

どこまでお考えなのか分からなかったから、ANo.4はちょっと曖昧に書いちゃったら、小説だと言われてしまった…とほほ。せめて詩と呼んで欲しかった。というのは冗談ですが。ANo.4に付けられたコメントを踏まえ、少し補足しておきます。

　まず、φやψがはっきりしないと申し上げたのは、具体的な式が分からんという話をしているんじゃなくて、φが属する集合X（およびψのそれY)がどうもはっきりしていない、ってことです。
　ところで、α, γの属する代数系(初等関数の部分集合Eに演算子φを入れたもの。ってか、Eはφで決まる）についてカンドルから来ていると仰るのは、可逆という点にだけ注目したアナロジーなのでしょう。（φが演算子では反射律すら成り立たず、カンドルはあんまり良い下敷きにはならん気がしますが。）
　しかし、たとえば
γ=φ(φ(α,β),δ)
をψを使ってαについて解けるのは、Eとφが単純な（たとえば、α,βが定数であるとか、φ(α,β)の初等関数としての表現の中にαとβがそれぞれ高々1回しか現れないとかの）場合だけでしょう。
　逆に言えば、Eとφが単純な場合以外では、
φ: E×E → F, E⊂F
となってしまって、<E,φ>は代数系ですらない。そこで
φ: E'×E' → E', E'⊂E
が成り立つようにEを制限したE'を考えると、単純な場合しか残らない。
　で、仰るとおり、まずはその単純な場合を分類する、というのも、ひとつのアプローチかもしれません。

一方、ANo.4では、むしろ「φを何度でも適用できる」という要求は強すぎると考えて、（演算φについて閉じたE'じゃなく、）素直に
φ: E×E →F
を扱った方が、対象Eが広くなるぶん意味があるんじゃないか（すると、βは邪魔）と申し上げた訳です。

お礼

何度も，ご回答を寄せて頂き，ありがとうございました．

補足

たびたびの，人間味あるご回答で，有り難く思います．

φ,ψが属する集合は，「初等関数全体の集合」，つまり，
φ,ψ∈{初等関数全体} のつもりですが，変でしょうか？
始めから，φは，γとβを用いて表現できる初等関数，
ψは，αとβを用いて表現できる初等関数で，
それ以上のことは，言っていないつもりでしたが・・・．

カンドルから来ていると申し上げましたのは，カンドルが定義される
公理（第２番目）の中の　”α ＝ γ★β を満たす γ が存在する．”
を数式化（初等関数のみで）したものです．
釈迦に説法でしょうが，一応，カンドルの定義をのせておきます．

「カンドルの定義」
任意の集合 Ω の元 α,β,γ∈Ω に関する２項演算 ★ が，
下記の条件１，２，３を同時に満たすとき，
集合 Ω と２項演算 ★ の組(Ω,★)を「カンドル」(Quandle)という．

条件１：　∀ α ∈ Ω, α★α ＝ α．
　　（集合Ωのすべての元αに関して，常にα★α＝αを満たす），

条件２：　∀ α,β ∈ Ω, ∃！ γ ∈ Ω s.t. α ＝ γ★β．
　　（集合Ωのすべての元α,β∈Ωに関して，α＝γ★βを
　　　満たす元 γ がただ一つ存在する），

条件３：　∀ α,β,γ ∈ Ω, (α★β)★γ ＝ (α★γ)★(β★γ).
　　　（集合 Ω のすべての元 α,β,γ∈ Ω に関して，
　　　(α★β)★γ ＝ (α★γ)★(β★γ) が常に成り立つ）．
-----------

ご存じとは思いますが，
このカンドルは，David E. Joyce（デーヴィド・E・ジョイス）と
Sergei V. Matveev（セルゲイ・ヴラジーミロヴィチ・マトヴェーエフ）
により，1982年に導入されました．
カンドルについては，多くの研究報告(arXiv:math)がありますが，
ほとんどは，（コ）ホモロジーをベースにしたもので，
初等関数のものは，極めて少ないのが現状です．
そこに，目を付けているわけです．

ANo.4 の補足で申し上げましたα★β＝φ(α,β)のφ(α,β)で，
「カンドルの定義」を満たす初等関数φは，実際に存在しますが，
全単射となるものよりも，むしろ，せいぜい全射となるものが殆どです．
全単射でなければ，厳密には，カンドルとは言えませんので，
この辺が，今後の研究対象です．

始めの質問では，この辺のことは伏せましたが，本音は，
α＝φ(γ,β)　⇔　γ＝ψ(α,β)　の具体例と一般的には，
どの様な事が言えるのか？　の情報収集のつもりでした．

というわけで，ANo.5 のご回答の中の

------------------------------------
　しかし、たとえば
γ=φ(φ(α,β),δ)
　　　　　　ANo.6 で　γ=φ(α,φ(α,β))　に訂正されています．
をψを使ってαについて解けるのは、E とφが単純な
（たとえば、α,βが定数であるとか、
φ(α,β)の初等関数としての表現の中に
αとβがそれぞれ高々1回しか現れないとかの）場合だけでしょう。
------------------------------------

の部分が大変に参考になります．そして，仰る通りのアプローチとして
「単純な場合を分類する」ことが今後の進路となりそうです．

回答No.6

stomachman

ANo.5 は例が良くなかったです。
γ=φ(α,φ(α,β))
などとしておけばよかった。訂正です。

お礼

何度も，ご回答を寄せて頂き，ありがとうございました．

補足

早やぁーー．参りますねぇ．早すぎて！　ANo.5　は，大叙事詩？！！
頭脳明晰でいらっしゃるので，追いつくのが大変です．
ANo.5　をゆっくりと見ます．

回答No.4

stomachman

ANo.3のコメントを拝見して、なるほど、どういう話なのかがうっすら見えてきたような気がします。ボンクラですいませんねえ。
　φ(α,β)とψ(α,β)は関数を引数として持つ、いわば汎関数（あるいは演算子）だとお考えである。たとえば
(φ(α,β))(x)=α(cos(β(x+1)))+β(1/α(x))+tan(x)
みたいなもの。だから、α,βが勝手なモノでは駄目だし、任意の初等関数というのでもだめで、飽くまで
α∈初等関数 ∧ β∈初等関数 ∧ φ(α,β)∈初等関数 ∧ α=ψ(φ(α,β),β)
となるような<α,β,φ,ψ>を考える。
　ただ、これだけだとφとψがナニモノなのか今ひとつはっきりしません。どうしましょうか。ひとつの手として
I(x)=x
とするとき、φは
φ(I(x),I(y))∈初等関数
であり、ψも同様、ということで規定してはどうでしょうかね。
　ま、それはさておき、「α,βがどんな初等関数であっても成り立つ関係」という話ではないのだから、たとえばβ,φを決めたときに
A(β,φ)={α| ∃ψ(ψ(I(x),I(y))∈初等関数 ∧ α=ψ(φ(α,β),β))}
を考えることができる。これを簡単な述語Pで
∀α( P(α,β,φ)⇔α∈A(β,φ) )
と表せる場合にはどんな例があるか、というのが質問(2)、
A(β,φ)が空集合になっちゃう場合の例は？というのが質問(3)、
A(β,φ)=初等関数になる場合の例は？というのが質問(1)
に概ね相当するでしょうか。（全然違う？）

　ところで、βの存在意義ってやつがなんとも腑に落ちないんです。もしも、
β=φ(α,β)
の不動点、みたいなことをお考えなら、「有限回の操作」という話と矛盾しないようにするのが難しい。なのでむしろ、初等関数βは陽に式を書いて与えられるような状況だけをお考えなのであろうと憶測します。さて、そうだとすると、(ANo.３にも書きましたけど）たとえば
β(x)=√(sin(x)+x)+1
なら
(Φ(α))(x)=(φ(α,√(sin(x)+x)+1))(x)=α(cos(√(sin(x)+x)+2))+√(sin(1/α(x))+1/α(x))+1+tan(x)
という風に、φにβを埋め込んだ汎関数Φの形に書ける訳で、ならば特にβを持ち出す理由はないんじゃねーでしょうか。そして
α∈初等関数 ∧ Φ(I)∈初等関数 ∧ ψ(I)∈初等関数 ∧ Φ(α)∈初等関数 ∧ α=ψ(φ(α))
となるような<α,Φ,ψ>を考える、という方が話がすっきりしませんかね。

お礼

ご丁寧な，数学的長編小説（？）を，ありがとうございます．
こんな事のために時間をさいて頂き感謝しております．
大変参考になりますが，飲み込むのに，少々時間がかかりそうなので
直ぐには返信できません．
この「お礼する」の欄で，とりあえず，ご連絡しておきます．
また，あらためて，「補足する」の欄へ書き込むつもりです．
恐縮ですが気長に，お待ち下さい．

補足

ANo.4 の内容には未だのみこめない部分もありますが，それはそれとしておき，
φ　と　ψ　に疑問をお持ちのようなので，以下でご理解戴こうかと思います．

＞＞α∈初等関数∧β∈初等関数∧φ(α,β)∈初等関数∧α＝ψ(φ(α,β),β)
＞＞となるような<α,β,φ,ψ>を考える。

これでいいのですが，

＞＞φとψがナニモノなのか今ひとつはっきりしません。

φは，《＊》を満たすように，任意に与えてもよい関数です．
つまり，φは，計算で求めなければならないような関数ではなく，
自由に，任意に，決めることが許される関数です．その φ の決め方により，
従属的に ψ が決まります．その逆でも，かまいません．
ですから，φとψは，はっきりしています．今は，具体的な初等関数としては，
与えられていませんが．φとψは，あくまで，初等関数として，

α＝φ(γ,β)　⇔　γ＝ψ(α,β)　　・・・　《＊》　　　

の関係を保つ関数です．くどいようですが，α＝φ(γ,β)　から
γ＝ψ(α,β)　は，すべて，初等関数として，無理なく自然に出てくるものを
対象とします．そして，α，β，γ，φ，ψ　には，何らかの一般性を
持たせたいのですが・・・．
α，β，γ，φ，ψ　に対して適当に具体的な実変数関数を，例えば，
e は自然対数の底．a，b，c　は定数，a，b，c∈R(実数)　として，
φ(γ,β)＝a(e^γ)＋bβ^c
とすると，
α＝a(e^γ)＋bβ^c
から，γは自然に，言うまでもなく，
γ＝Ln((α－bβ^c)/a)
と求まります．Ln(＊) は自然対数．(α－bβ^c)/a ＞ 0．
ここで，αとβをそれぞれ実変数 x の関数α＝α(x)と
実変数 y の関数β＝β(y)とすると γ は，
γ＝Ln((α(x)－b{β(y)}^c)/a),　　　　　(α(x)－b{β(y)}^c)/a ＞ 0．
となります．実変数 x と y を用いる理由は，なるべく一般性を持たせるためです．
この場合，ψ(α,β)が　Ln((α(x)－b{β(y)}^c)/a)　に相当するわけです．

このように，具体的な指数関数，対数関数を用いれば，議論できますが，
これを，もう少し一般的に扱えないか？　と考えているわけです．
例えば，α＝φ(γ,β)のφは，三角関数 sin(φ) と cos(φ) の和であれば良い，
とか，指数関数 a^φ と b^φ の積の初等関数であれば良い，と言った様な・・・．
これは，仮定の話ですが・・・．

ところで，

＞＞βを持ち出す理由はないんじゃねーでしょうか。

ごもっともな疑問です．
単に，α＝φ(ψ(α,β),β)のみを考えているのであればβはいらないですが，
実は，２項演算を考えています．
２項演算 ★：{初等関数}×{初等関数} ⇒ {初等関数} を初等関数で
構成しようというのです．
初等関数を用いる２項演算を　α★β＝φ(α,β)　で定義し，
α★β＝φ(α,β)　に対して，初等関数γが存在し，α＝γ★β を満たす
初等関数として，γをγ＝ψ(α,β)で表せるものとして，ψの定義とします．

α＝φ(γ,β)　⇔　γ＝ψ(α,β)　を導く課程は以下の通りです．

定義式：α★β＝φ(α,β)　から，γ★β＝φ(γ,β)　です．したがって，
α＝γ★β　は，α＝φ(γ,β)　と書けます．
この　α＝φ(γ,β)　が初等関数　ψ　を用いて，
γ＝ψ(α,β)　と解けると仮定するわけです．
ところで，α＝γ★β　が，どこから出てきたかと言いますと，
カンドル（Quandle）の理論から出てきます．と言うわけで，初等関数としての

α＝φ(γ,β)　⇔　γ＝ψ(α,β)　

の挙動を探っているのです．
汎関数を用いる理由は，一般性をもたせることと，後で融通が効くように，
との配慮からです．

とりとめのない，下手な文章で，すいません．

回答No.3

stomachman

ANo.2に付けられたコメントを拝見すると、どうも、γが何であっても《＊》が成り立つような<φ,ψ>についてお考えなんじゃないか、と思います。だとすると、
∀α∀γ（α＝φ(γ,β)　⇔　γ＝ψ(α,β)）
と捉える方が適切かと思われ、ここにαやγが初等関数である必要はないでしょう。

　さて、
> α＝φ(γ,β)　⇔　γ＝ψ(α,β)　　・・・　《＊》
とお書きですけど、βの部分をφやψに埋め込んだ
Φ(γ) = φ(γ,β)
Ψ(α) = φ(α,β)
を考えますと、
∀α∀γ（α＝Φ(γ)　⇔　γ＝Ψ(α)）
だから、ΦとΨは、おおざっぱな意味で互いに逆関数になっている。
　ここで「おおざっぱ」というのは「Φ(γ(x))の値域全体に渡ってΨが定義できるかどうか、またその逆についてはどうか、という話はおいといて」というほどの意味で、すなわち、もしかすると値域を限定しなくてはならない（条件が付く）場合も出てくるかも知れない。

　そういうおおざっぱな意味で、「初等関数Φの逆関数Ψもまた初等関数である」ような初等関数Φのなす系F（従って、Φ∈Fの逆関数はFの要素である）を構成しよう、という話だと捉えられるかと思います。
　ちょっとだけ検討してみましょう。まずΦとして多項式だけ考えますと、5次以上になると一般に解けないし、「簡単に四則演算」で扱えるのはせいぜい3次まででしょう。そうだとしてもΨには2,3乗根が出てくる訳です。するともちろん、多項式に2,3乗根を組み合わせたものならなんでもFに入れる、という訳には行きませんで、「逆関数が多項式で書けるもの」という、簡単に陽に（形から）は判定できない性質を要求することになっちゃいます。これは、意図なさっている話とはどうもずれているような気がする。

　というわけで、再びANo.2に付けられたコメントに戻って、何がなさりたいのか再考しますと、もしかして、
{ Φ | Φ∈初等関数 ∧ ∃Ψ(Ψ∈初等関数 ∧ ∀α∀γ(α＝Φ(γ)→γ＝Ψ(α))}
を考えた方が生産的じゃないかなあ。逆向き←はホントに必要なのかなあ。

お礼

ご回答，有り難う御座いました．

補足

ご回答ありがとうございます．なかなか含蓄のあるご回答で参考になります．私にとって，いい勉強になっております．

「数学は自由だ！」　のような事を，ゲオルグ・カントールが，かつて言いました．数学では，自由に何を考えてもいいのですが，この ANo.3 では，議論が飛躍しすぎるきらいが出てきました．

今の場合は，あくまで，α，β，γ，φ，ψ　がすべて初等関数で，かつ《＊》が成り立つ場合のみを考えていますので，逆向きの ← も必要なのです．その理由の言明は不必要でしょう．数学ですから．したがいまして，

{Φ|Φ∈初等関数∧∃Ψ(Ψ∈初等関数∧∀α∀γ(α＝Φ(γ)→γ＝Ψ(α))}

は考えに入れないことにします．この式は，いまの場合とは，別の議論になりますので．

５次以下の多項式や有理関数など，個々の場合を設定して，個々に考えるしかないと言うようなことにもなりそうです．

また，何か，お気づきの点がありましたら，教えて下さい．

回答No.2

stomachman

ご質問で仰るとおりに《＊》が「成り立つものとします．」が前提だとするなら、質問(2)の答（「条件などない」）と質問(3)の答（「そんな<α，β，γ，φ，ψ>はない」）は余りにも自明であり、すなわち質問(2)(3)が意味をなしません。どうも変です。

　もしかして、「成り立つものとします．」とお書きなのは何かの間違いであって、単に《＊》が(1)成り立つ例、(2)条件付きで成り立つ例、(3)成り立たない例、をお尋ねなのではないか。仮にそうだとすれば、たとえば
例(1)φ(x,y)=0,ψ(x,y)=0,α=0,γ=0, βは任意。
例(2)φ(x,y)=0,ψ(x,y)=0,α=0,βとγは任意。条件：γ=0
例(3)φ(x,y)=0,ψ(x,y)=0,α=0,γ=1, βは任意。

　でもこれじゃカンタン過ぎて、わざわざ注釈までお付けなった甲斐がないような気がしますねぃ。

　というわけで、ご質問の意図がどうも読み取れません。

お礼

ご回答，有り難う御座いました．

補足

♯２さんのお書きになった通りです．
私の書いた質問の言葉遣いが厳密性を欠き誤解を招いたようです．
「成り立つものとします．」としたのは，安易にそう書いてしまいましたが，
真意は，

α＝φ(γ,β)　⇔　γ＝ψ(α,β)　　・・・　《＊》

について，《＊》が無条件で成り立つ例（質問１），
条件付きで成り立つ例（質問２），全く成り立たない例（質問３）を問うたものです．

♯２さんの３つの例は，こういう場合もあるという良い参考になりました．
ただ，初等関数の定義域のいかんに関わらず値域が常に０（ゼロ）と言うのは避けたいです．

詳しく書きませんでしたが，
α＝φ(γ,β)　⇔　γ＝ψ(α,β)　の意味は，α＝φ(γ,β)からγ＝ψ(α,β)が
簡単に四則演算で得られる場合を探りたいと言うことです．

質問（１）は，例えば，φ(γ,β)がγ,βについて，二次関数の形であれば，
α＝φ(γ,β)をγについて解き，γ＝ψ(α,β)のψが初等関数として得られます．

質問（３）は，例えば，勝手に　φ(γ,β)＝(γ^β)＋Ln(γ)＋βγ
のような初等関数をもってくると，

α＝(γ^β)＋Ln(γ)＋βγ

は，初等関数で，γ＝ψ(α,β)　の形には書けません．Ln(γ)は自然対数です．

こういう事を，少しは一般的に扱えないか？　と言うのが質問の意味です．
そして，最終目的は，質問（１）の関数をすべて選び出すことです．

回答No.1

akubisekai

問題文がよくわからないです。
α、β初等関数のとき「αとβの初等関数」というものの定義がよくわかりません。
あと初等関数というのは１変数関数（Ｃ→ＣorＲ→Ｒ）でいいのかな？

お礼

ご回答，有り難う御座いました．

補足

質問の(注)にも書いてあるように，「αとβの初等関数」とは，
例えば，p，q ∈R（実数）として，ψ(α,β)＝pα^2＋qβ^3　や
ψ(α,β)＝p*exp{qα－β}　のような関数です．
これらのαとβに適当な初等関数を入れれば，
pα^2＋qβ^3　も　p*exp{qα－β}　も再び初等関数になります．
また，初等関数は，１変数関数だけではありません．

質問に対する回答があれば，おねがいします．