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オイラー数について

自然数nに対して、 {(z,w)εC^2|z(3乗)=w(3n乗) +1} に無限遠点を3点加えた曲面をΣとする。 このΣのオイラー数はいくらですか? また、このΣはどんな曲面ですか?教えてください。

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  • ベストアンサー
  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.1

前の質問と三箇所かわったかな・・・ こういうレベルのものは 素直に大学で先生に聞くべきだと思う. 講義の流れによっては計算方法がまるで違う. そもそもarithmetic genusとgeometric genusの違いとか divisorとかcohomologyとかが絡んでる話(つまりは 小平-SpencerとかRiemann-Rochの関係)かもしれないし, resolution of singularities方面のblowing upの話の 流れかもしれないし。。。。そもそも こういう方面の話じゃなくって, もっとtopologicな話なのかもしれないし. まあ,resolution of singularities+blowing upの方面で いってみよー z^3 = w^{3n}+1 ということなら,これは非特異な複素代数曲線なんだから genus g = (d-1)(d-2)/2 (dは定義多項式の次数) であって,オイラー数 χ=2-2g だから すぐ計算できるでしょう? この曲線(複素の話なんだから曲面は不適だろう)の 形についてはいろいろ手があるけど genusがわかるんだから,それでよいとすることも可能. 具体的な形が知りたいのであれば, C^2ではなくて,R^2だと思って,普通に z^3 = w^{3n} + 1 のグラフを描けばいい. これが,前の質問のように z^3=w^3n+1 だったら z^3 = w^{3n+1} だったかもしれないわけで こうなると,gの計算は少し厄介になる. g = (d-1)(d-2)/2 + Σr(r-1) Σは曲線のすべての特異点での和 rは各特異点でのramification indexとなる. 特異点は原点と∞だけどramification indexは たぶん両方とも3のはず. これで計算できるとおもう. この曲線の形だったら,特異点の近傍での 十分小さい半径のS^3との共通部分を 考えれば,knotとして表現できるから そっち方面からの考察ができるでしょう. Seifert surfaceとかいろいろあるからそれでがんばればいい. Milnor numberとかいろいろ指標はあるので 適当に資料をあたってくださいな.

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  • wloop
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回答No.2

複素曲線:z^3 = w^(3n)+1はn=1の場合は #1さんがいわれてるとおり特異点を持ちませんが nが1よりも大きい場合は無限遠に特異点を持ちます。 オイラー数χの計算についてはいろいろやり方はあると 思いますが簡単に評価する方法は 「数学への旅 2 数論とトポロジー」山下純一 現代数学社 に載っています。よろしければ図書館等でみてみてください。 結果はχ=-6・n+6 (χ=2-2・gより種数g=3・n-2)となります。 曲面の形はg個穴が空いた浮輪の形です。 (n=1の場合はg=1でトーラス) ちなみに複素曲線:z^3 = w^(3n+1)の場合は #1さんがいわれてるとおり原点と無限遠に特異点を持ち χ=2(曲面の形は球面)となります。 これについても上記の本に簡単に説明があります。

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