無限遠点での留数

質問

下の２つの有理関数の無限遠点での留数を求めようと思うのですが、[a][b][c]の方法で別々に考えると答えが合いません。考え方が間違っているのでしょうか、根本的に勘違いをしているのでしょうか、指摘してくださるとうれしいです。よろしくお願いいたします。

(1) z^3/(z^4 - 1)
(2) z^3/(z^2 + 1)

[a] Res(∞,f(z)) = -Res(0,f(z)) を使うと、(1)は0となり不正解、(2)は0となり正解
[b] z=1/w と置換してから展開したものに(-1/w^2)を乗じて考えると、(1)は-1となり正解、(2)は1となり不正解
[c] z=0 での展開結果で z=1/w を代入し(-1/w^2)を乗じて考えると、(1)は0となり不正解、(2)は0となり正解

参考書の答えでは、(1)の答えは-1、(2)の答えは0、となっています。

回答No.3

nakaizu · ベストアンサー

まず、留数の定義をきちんと確認してください。
z=aでf(z)が極のときにz=aでのfのローラン展開の1/(z-a)の係数が留数です。ただし、a=∞は除きます。
極以外では留数は定義されていません。しいて言えば0です。
[a] のような公式はありません。
-Res(∞,f(z))=-ΣRes(a,f(z))
が正しい式で和は全ての極についての留数の和です。
(1)は極はz=1,-1,i,-i の四つで各極での留数は1/4ですから-1が出てきます。(2)の極はiと-iで留数は-1/2と1/2ですから0が出てきます。
[b]は正しい方法と思いますが、∞での留数はlim f(z)=0 (as z→∞)のときのみ定義されていると思われます。定義をもう一度確認してください。定義されていないときは0とみなします。
[c]z=0でのテイラー展開はこの場合はどちらも収束半径が1ですから|z|<1のときしか意味をなしません。
つまりzが∞に近づくときには役に立ちません。

お礼

留数の定義や、無限遠点での留数の定義など、基礎的なところが曖昧だったせいで色々と意味のわからないことになってしまっていたんですね、昨日アドバイスをいただいてから確認してみて、納得できました。
明快なご説明をありがとうございました。

回答No.4

info22

#2です。
定義に基づき再度チェックしました。
#2の解は撤回します。すみませんでした。
#3さんが途中計算は省略されていますが、すでに正しい回答をして見えるようですので、ここでは途中の計算式を入れた式を書いた回答を補充しておきます。

Res(∞,f(z))はローレンツ展開のzの係数として定義されていることから、
(1)z^3/(z^4 - 1)=(-1/4)/(1-z)+(1/4)/(1+z)+(i/4)/(1-iz)+(-i/4)/(1+iz)
と展開できますので、
Res(∞,f(z))=(-1/4)+(1/4)x(-1)+(i/4)x(i)+(-i/4)x(-i)=-1

(2)z^3/(z^2 + 1)=z+(i/2)/(1-iz)-(i/2)/(1+iz)
と展開できますので、
Res(∞,f(z))=1+(i/2)x(i)-(i/2)x(-i)=0

となります。
矢張り参考書の解答が正しいですね。

お礼

３度にわたってありがとうございましたm(_ _)m

回答No.2

info22

済みません。勘違いしていました。
#1の解答は Res(0,f(z))でした。
(1)f(z)=(1/4)/(z-1)+(1/4)/(z+1)+(1/4)/(z-i)+(1/4)/(z+i)
と部分分数展開でき、zの項がないので
Res(∞,f(z)) =0

(2)Res(∞,f(z)) =lim(z→∞){f(z)/z}
=lim(z→∞)[1/{1-(1/z^3)}]=1

ではいかがですか？
参考書の答えと違いますね。
矢張り違うのかなあ？

補足

自分も調べてみてわかったんですが、f(∞)=0 となっている時には、
Res(∞,f(z)) = lim(z→∞){-zf(z)}
が成立するようです。なので、(1)に関してはこれが使えて、info22さんの先ほどの式では(-1)倍が抜けていたので答えに-1をかけてやれば答えは-1となって答えが合いますよね。

ただ、今回のご回答のinfo22さんの考え方は自分にはよくわかりませんでした沈。折角教えていただいたのに何もコメントできず申し訳ないです。

そして自分の考え方[b][c]での展開から考える方法ではなぜ答えがこんなにバラバラになるのか未だにわかりません…。[a]の考え方も、まずz=0で展開して、その係数を使ってz=∞での留数を求めようと思ってやってみたのですが…。展開の考え方が間違っているのでしょうか。

ちょっとz=0での考え方を書いてみます。間違いがあったらご指摘くださるとうれしいです。
(1)では-z^3{1/(1-z^4)} = -z^3(1+z^4+z^8+…) = -(z^3+z^7+z^11+…) と計算しました。
(2)でもz^3{1/(1+z^2)} = z^3(1-z^2+z^4-+…) = z^3-z^5+z^7-+… と計算しました。
wに置換した場合も基本的に同じようにして展開を計算したのですが・・・

回答No.1

info22

(1)Res(∞,f(z))=zf(z)|(z→∞)
=1/{1-(1/z^4)}|(z→∞)=1

(2)f(z)=z+z(z)
g(z)=-z/(z^2+1)
Res(∞,f(z)) = Res(∞,z(z))
=zg(z)|(z→∞)=-1/{1-(1/z^2)}|(z→∞)=-1

いずれの解とも違う解が出ました。
勘違いしてるのかなあ？

お礼

あ、すみません、(1)についての[a]のやり方なんですが、Res(0,f(z))は、z=0での展開をして、-1次の項の係数をみる、という形で考えて出しました。が、info22さんのおっしゃる留数の求め方を使うと・・・z=0での留数は1になって、Res(∞,f(z)) = -Res(0,f(z)) を使うと、z=∞での留数は-1になりますよね・・・なんで答えが合わないんでしょうか…沈。

補足

ありがとうございます。
やはり、自分の勘違いなのでしょうか。

あ、気になったんですが、
0での留数はlim(z→0){zf(z)}
でいいと思うんですが、
∞に行く時の留数も
lim(z→∞){zf(z)}
でいいんですか？