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オイラー級数の説明
フーリエ余弦級数の問題で Σ１/ｎの二乗 が邪魔なので、オイラーを使って、 Σ１/ｎの二乗 を １/１の二乗＋１/２の二乗＋１/３の二乗＋‥‥‥＋１/ｎの二乗＝ （１/６）πの二乗 の問題の説明が必要なのですがうまく説明できません。どなたかわかる方、説明をお願いします。
- suugakukun
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ぜータ関数 ζ(2) = Σ1/(k^2) = π^2 / 6 を示すって事ですね。 道がちょっとそれるようですが、 sin x = x - x^3/(3!) + x^5/(5!) ・・・ ・・・（１） 一方、sin x = 0 は x=0, x = ±kπ (k=1,2,3,...) を解に持つので、（１）式を因数分解すると、 sin x = x Π (1 - x/(kπ)) (1 + x/(kπ)) = x Π (1 - x^2/(kπ)^2) ・・・（２） （１）式と（２）式の両右辺の x^3 の係数を比べると、 - 1/(3!) = - Σ 1/(kπ)^2 = - (1/π^2) Σ1/(k^2) より、 ζ(2) = Σ1/(k^2) = π^2 / 6
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