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微分方程式
stkmghckの回答
- stkmghck
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まず、y=A(x)e^xとおきます。これを式に代入すると (A''-2A'+A)e^x = e^x となりますので A''-2A'+A = 1 ...(1) という式が得られます。これは (D-1)^2 A = 1 ...(2) とできます。ここで B(x) = (D-1)A(x) ...(3) とおきます。すると、(2)式は (D-1)B = 1 ...(4) となり1次微分方程式の形になります。さらに、 B(x) = C(x) - 1 ...(5) とおきますと、(4)式は (D-1)C = 0 ...(6) となります。これは簡単に解けますね。 C = a e^x (aは定数) ...(7) この結果を(3)(5)式に代入すると、 (D-1)A = a e^x - 1 ...(8) が得られます。 ここからは今までと同じように変換をしていけば解けます。 今度は A(x) = E(x) + 1 ...(9) とおきますと、(8)式は (D-1)E = a e^x ...(10) となります。さらに E(x) = F(x)e^x ...(11) とおきます。すると、(10)式は DF = a ...(12) となります。これを解くと F = ax + b (bは定数) ...(13) が得られます。最後に(9)(11)(13)から A = (ax + b)e^x + 1 となりなすので、解yは y= (ax + b) e^{2x} + e^x となります。 ANo.1の方の方がシンプルですかね．．．
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