- ベストアンサー
微分方程式で、y''-xy'+y=0 の解き方（一般解）を教えて下さい。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
「級数解法」でおこなったらどうですか？ 求める解を，y=Σ[n=0,∞](a_n)x^n とおいて，y'' ，y' を計算し， 方程式に代入する。xの各次数の係数を0とおいて，a_0,a_1,a_2,… を 求めていく。そして，係数の規則性を見つけて整理する。 計算は自分でやってみて下さい。
その他の回答 (1)
- inara1
- ベストアンサー率78% (652/834)
数式処理ソフトでの解は y = C1*x - C2*exp(x^2/2) - I*C2*√(2*π)*x/2*erf( I*x/√2 ) erf(t) ≡ 2/√π*∫[s = 0～t ] exp( -s^2 ) ds になりました（ I は虚数、C1とC2は定数）。問題の微分方程式が間違ってませんか？
関連するQ&A
- 偏微分方程式の一般解などについて
偏微分方程式の一般解などについて 二点質問があります。 １． 「n階偏微分方程式の一般解はn個の任意関数を含む」とテキストにあったのですが、なぜそう言えるのでしょうか？ n階常微分方程式の場合は、n回積分してやればn個の任意定数が出てくる、というように理解できるのですが、偏微分方程式の場合はどう考えたらよいのかよく分かりません。とくに、なぜ任意「定数」ではなく、任意「関数」なのでしょうか？ ２． １に関連しますが、偏微分方程式の一般解であるための必要十分条件みたいなものはあるのでしょうか？たとえば、n階常微分方程式ならn個の線形独立な基本解の線形結合が一般解となると思うのですが、偏微分方程式の場合はどうなんでしょうか？ どうぞよろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式 y''+xy'+y=0 って解けるんですか？
タイトルどおりなんですが y''+ xy'+ y = 0 という微分方程式が解になる問題あるんですが y を求める際には上記の微分方程式を解くのではなく, y を２次関数と考えて解くとなっています。 いろんな問題を調べても、ありませんでした。 もし、解ける方がいれば解き方あるいはヒントでもいいので教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式の一般解について
微分方程式の一般解についてなんですが、特性解が重解や２つあるときはわかるのですが特性解が１つのときの一般解の求め方がわかりません。 今、ｙの二階微分をＡ、一階微分をＢとします。 例えば４Ｄ－１２Ｂ＋９ｙ＝０という微分方程式があったとして、これの特性解は3/2です。 どうやって求めたらいいのでしょう？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の一般解について
次の二式の微分方程式があります。 y''''+2y''=0 y''''+y'''+y''=0 上の方の特性方程式の根はλ＝０（二重根）、λ＝±√２i で答えが、 C1+C2x+C3cos√2x+C4sin√2x に対して 下の方の特性方程式の根はλ＝０（二重根）、λ=-1/2±(√3/2)i で答えが、 C1+C2+C3*e^(-1/2)cos(√3/2)x+C4*e^(-1/2)sin(√3/2)x ですが、 何故上の方がC2にxがかかっていて下にかかっていないのですか？ どなたか導出過程を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の一般解の求め方で・・・・
次の微分方程式の一般解を求めよという問題です。 xtan(y/x) - y + xy' = 0 これってどうすればいいのでしょうか？ u=y/xとおいたのですがとけませんでした。教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の一般解
単刀直入に質問いたします。 du/dt=(1-u)u 簡単なようですが上の式の一般解が分かりません。 変数分離形だと思い解いてみたのですが、変数を分離して両辺積分してまとめると、 log|u/(1-u)|+C=t となったのですが、むりやりu=の形に直すとあまりいい形になりません。 この問題の後に、 (2)u(0)=aのもとで上記方程式を解け。但しaを実定数とする。 (3)(2)で求めた解がt≧0全体で定義されるためのaの満たすべき条件をもとめよ。 という問題が続くので、一般解をできるだけきれいな形で出しておきたいと思い質問いたしました。 ちなみに自分で無理やり解いた解は、 u=(±exp(t)+C)/(±exp(t)+C+1) (Cは積分定数) です。 間違っている、これでよい等どんなことでも良いので助言をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の一般解の求め方が分からないので教えてください。
微分方程式の一般解の求め方が分からないので教えてください。 1.(1+x^2)y´+2x(1+y)=0 2.2yy´+logx+1=0 3.2x+y+(x-2y)y´=0
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式 xy"-y=0 の解の基底
今年（2018年）で52歳になる、数学が趣味の会社員です。 ISBN4-563-00561-4「技術者のための高等数学－１ 常微分方程式 原書第５版」 （現在、市販されている原書第８版より一つ古い版）の 164頁に載っている 8番 下記の問題がどうしても解けません。 次の微分方程式の解の基底を求めよ。プロベニウスの方法により得られた級数が よく知られた関数の展開であることを確かめよ。 8. xy"-y=0 基底の一つは、 y1=c0*Σ(m=1～∞)[x^m/((m-1)!*m!)] までは分かったのですが、もう一つの基底、 y2=k*y1*log(x)+(x^r2)*Σ(m=0～∞)[Cm*x^m] が計算できません。 y1を求めるまでの過程ですが、下記のとおりです。 x*y"-y=0 … (1) 解はy=(x^r)*Σ(m=0～∞)[Cm*x^m]の形になるので、 y=(x^r)*Σ(m=0～∞)[Cm*x^m]=Σ(m=0～∞)[Cm*x^(m+r)] y'=Σ(m=0～∞)[(m+r)*Cm*x^(m+r-1)] y"=Σ(m=0～∞)[(m+r)*(m+r-1)*Cm*x^(m+r-2)] これらを(1)に代入すると、 x*y"-y =Σ(m=0～∞)[(m+r)*(m+r-1)*Cm*x^(m+r-1)] -Σ(m=0～∞)[Cm*x^(m+r)]=0 … (2) x^(r-1)の係数の和を0とおくと、 r*(r-1)*c0=0 C0<>0なので、 r*(r-1)=0 r=r1,r2 r1=1, r2=0 r=r1=1 のとき (2)にr=r1=1を代入すると、 Σ(m=0～∞)[(m+1)*m*Cm*x^m]-Σ(m=0～∞)[Cm*x^(m+1)]=0 … (3) x^sの係数の和を0とおくと、 (s+2)*(s+1)*c[s+1]-Cs=0 （c[s+1]はcの右下に小さく「s+1」です） c[s+1]=Cs/((s+1)*(s+2)) … (3) (3)でs=0のときは c1=c0/2=c0/2! (3)でs=1のときは c2=c1/(2*3)=c0/(2!*3!) (3)でs=2のときは c3=c2/(3*4)=c0/(3!*4!) y1は y1=(x^r1)*Σ(m=0～∞)[Cm*x^m] なので、 y1=(x^1)*Σ(m=0～∞)[(c0*x^m)/((m-1)!*m!)] =c0*Σ(m=1～∞)[x^m/((m-1)!*m!)] ここで力尽きました。 「よく知られた関数の展開であることを確かめよ。」とあるので、そもそも この級数が初等関数の組み合わせになるのでしょうか ? y1が正しいかどうかを検算した結果は、以下のとおりです。 y1=c0*Σ(m=1～∞)[x^m/((m-1)!*m!)] y1'=c0*Σ(m=1～∞)[m*x^(m-1)/((m-1)!*m!)] =c0*Σ(m=1～∞)[x^(m-1)/((m-1)!^2)] y1"=c0*Σ(m=2～∞)[(m-1)*x^(m-2)/((m-1)!^2)] =c0*Σ(m=2～∞)[x^(m-2)/((m-2)!*(m-1)!] =c0*Σ(m=1～∞)[x^(m-1)/((m-1)!*m!] = y1/x x*y1-y1=x*y1/x-y1=0 0になるので正しいと思います。 前出の「技術者のための高等数学－１ 常微分方程式 原書第５版」の全問題 完全制覇を目指して 2年ぐらい前から独学で勉強しています。 4章に入って内容が難しくなって、私の力ではそろそろ限界かもと感じるように なりました。 本には解き方はおろか、模範解答もありません。 周りに聞ける人もいません。数学が得意な方、どうかご教示をお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
