助けて下さい！！

質問

高校3年生の数学で、
そこまで難しくはない基礎的なものだと思うんですが
どうあがいても解けません・・・。
毎日必死にやってるんですが助けて下さい。

問題はf(x)=x^3+3x^2-2の増減を調べろとかそういのです。
どなたかお願いします！！

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＞＞＞問題はf(x)=x^3+3x^2-2の増減を調べろとかそういのです。

基本問題なので、教科書には必ず丁寧な解説が載っているはずです。
導関数の利用の代表例なので、必ずマスターしましょう。

まず、ｆ’（ｘ）を計算します。
計算する理由は、ｆ’（ｘ）＝０　となるところでｆ（ｘ）が極値（極大または極小）を取るからです。

ｆ’（ｘ）　＝　（x^3+3x^2-2）’
　＝　３ｘ^2　＋　６ｘ　＝　３ｘ（ｘ＋６）
よって、
ｆ’（ｘ）＝０　となるのは、ｘ＝－６　のときと　ｘ＝０　のときです。

さらに微分して、ｆ’’（ｘ）　を計算します。
計算する理由は、上記で言った「極値」が極小値なのか極大値なのかを判定するためであり、
また、変曲点（湾曲の仕方が上側か下側かが変わる点）を求めるためでもあります。

ｆ’’＝　（３ｘ^2　＋　６ｘ）’　＝　６ｘ　＋　６
　＝　６（ｘ＋１）

これで、ｘ＝－１　を境にして、
ｘ＜－１　のとき　ｆ’’（ｘ）＜０　⇒　ｆ（ｘ）は上に凸
ｘ＞－１　のとき　ｆ’’（ｘ）＞０　⇒　ｆ（ｘ）は下に凸
であることがわかりました。

以上のことから、
ｘ＜－６　　ｆは増加。グラフは上に凸。
ｘ＝－６　　ｆは極大値を取る。　ｆ（－６）＝　(-6)^3 + 3・(-6)^2 - 2
－６＜ｘ＜－１　　ｆは減少。グラフは上に凸。
ｘ＝－１　　変曲点。これを境に曲がり方が変わる。
－１＜ｘ＜０　　ｆは減少。グラフは下に凸。
ｘ＝０　　ｆは極小値を取る。　ｆ（０）＝　0^3 + 3・0^2 - 2
０＜ｘ　　ｆは増加。グラフは下に凸
となります。

実際解いてみてわかりましたが、１回微分、２回微分ともに、
計算結果が非常に簡単になるように出題されていますね。

では頑張ってください。

お礼

ご親切にありがとうございます！！；；
大変わかりやすくて助かりました。
頑張って他の問題も進めます。

本当にありがとうございました＞＜。。