グラフの書き方（数学3・C）

質問

関数f(x)=2x^2/2x^2+3x-2　の
(1)定義域を求め、
(2)x→+∞のときのf(x)を求め、
(3)x→-∞のときのf(x)を求め、
(4)f(x)の増減および極値を求め、
(5)グラフの概形を書け。

この問題で困っています。
(1)～(4)まで普通に解けたのですが、
(5)の際に-2と1/2付近のグラフのふるまいが分かりません。
（増減表からなんとなく∞や-∞に行きそうということは分かるのですが・・・）
答えではx→-2±0のときf(x)=-+∞　（-+はマイナスプラスです）
x→1/2±0のときf(x)=±∞とだけ書いてあるのですが、
どのように導いたのかがわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

f(x)を部分分数に分けると
f(x)=1+(1/10)*1/(x-(1/2)) -(8/5)*1/(x+2)　…(A)
となります。
＞(5)の際に-2と1/2付近のグラフのふるまいが分かりません。
x=-2前後での関数の振る舞いは、式(A)の第3項目の
-(8/5)*1/(x+2)
に左右されます。
x=-2-0では
→ -(8/5)*1/(-0)=(8/5)/(+0)→+∞
x=-2+0では
→ -(8/5)*1/(+0)=(8/5)/(-0)→-∞
となりますね。

同様に
x=1/2前後での関数の振る舞いは、式(A)の第2項目の
+(1/10)*1/(x-(1/2))
に左右されます。
x=1/2-0では
→ +(1/10)*1/(-0)=(1/10)/(-0)→-∞
x=1/2+0では
→ +(1/10)*1/(+0)=(1/10)/(+0)→+∞
となりますね。
お分かりでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。
答えを見たところでは式からすぐにわかるのかと思いましたが、少し考える必要があったんですね。
今後の勉強に生かしていこうと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

GOO4444

f(x)=2x^2/2x^2+3x-2　
　　は　2x^2/（2x^2+3x-2）の書き間違いですよね
　　　　=2x^2/（2x-1)（x+2)　
　　上記前提で
　　X→－２-0の時
　　だいぶいんちきな書き方をすれば
　　　F(X)→　2*(-2)**2／（2*-2+1)（-0)
　　　　　　　なんで全体ととして正のまま無限に大きくなる
　　　　　　よって　F(X)→＋∞
　　　　他の場合も同様
　　　（ちょっと説明手抜きですいません）

お礼

回答ありがとうございます。
他の方の見よう見まねで式を書いたので読みにくくなってしまい申し訳ありませんでした。
GOO4444さんの書いている通りです。
イメージがわかってきました。
今後の勉強に生かしたいと思います。