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最大値と最小値
未だ忙しくないでしょうから、時間潰しに挑戦して下さい。。。。。。w a>0、b>0、c>0、a^2≦a+b+c≦a^3、b^2≦a+b+c≦b^3、c^2≦a+b+c≦c^3 とする。 この時、a^2+b^2+c^2 の最大値と最小値を求めよ。
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お礼
回答有難うございます。昨日も回答していただいた方ですね。 お気づきとは思いますが、昨日の私の解に重大な計算ミスがありましたので、お詫び致します。 昨日の解も見事でしたが、今回も見事です。 この不等式を拡張していくと、nを自然数として、3^(1+(n/2))≦a^n+b^n+c^n≦3^(n+1)が成立するようです。 数学的帰納法を使わなくても、同様な解法で証明が出来るはずです。
補足
a^2+b^2+c^2≧9の別解です。 a>0、b>0、c>0より a≦1+b/a+c/a≦a^2、b≦1+a/b+c/b≦b^2、c≦1+a/c+b/c≦c^2 と変形できる。 ここで3辺を足すと、a+b+c≦3+(b/a+a/b)+(c/b+b/c)+(c/a+a/c)≦a^2+b^2+c^2。 相加平均・相乗平均より、b/a+a/b≧2、c/b+b/c≧2、c/a+a/c≧2 であるから、a+b+c≦9≦a^2+b^2+c^2。 最大値の別解は思いつきませんが。。。。。?