サイコロをｎ回振ったときの最大・最小目

質問

サイコロをｎ回振った時、最大値をa、最小値をbとする（a＞b）

最大値がaとなるのは、ｎ回ともa以下の目が出る場合から
ｎ回とも(a-1)以下の場合を引けばよい
よって最大値がaとなる確率は｛a^n - (a-1)^n}/6^n

最小値がbとなるのは、ｎ回ともb以上の目が出る場合から
ｎ回とも(b+1)以上の場合を引けばよい
よって最小値がbとなる確率は｛(6-b+1)^n - (6-b)^n}/6^n

ここで最大値がaかつ最小値がbとなる確率は
ｎ回とも(b,b+1,b+2,・・・,a)の場合から、ｎ回とも(b,b+1,b+2,・・・,a-1)の場合と
ｎ回とも(b+1,b+2,・・・,a)の場合を除けばよい

A：ｎ回ともb～a
B：ｎ回ともb～a-1
C：ｎ回ともb+1～a
とすると求める確率はP(A)-P(B∪C）

P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C)　　B∩C：ｎ回ともb+1～a-1であるから
P(B∪C)=｛2(a-b)^n - (a-b-1)^n}/6^n
以上より求める確率は
{(a-b+1)^n + (a-b-1)^n -2(a-b)^n}/6^n

としたのですがこれは正しいのでしょうか？
どなたか添削お願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

合ってます。

ちょっと複雑ですが、別解で求めてみます。

サイコロをｎ回振った時、最大値がaかつ最小値がbとなる確率をP(n)で表し、
k=a-b+1、とします。
n-1回振った時、b～aが出る場合で、
(1) a,bとも出る確率は、P(n-1)
(2) a,bとも出ない確率は、((k-2)/6)^(n-1)
(3) a,bの片方だけ出る確率は、b～aが出る確率から上記２つの確率を引いたものなので、
(k/6)^(n-1)-P(n-1)-((k-2)/6)^(n-1)

P(n)は、n-1回振った時を基にn回目を考えると、
(1)は、n回目は、b～aのどれか、
(2)は、n回目は、どれが出てもだめ、
(3)は、n回目は、bかaのうち出ていない方、
なので、
P(n)=P(n-1)*k/6+{(k/6)^(n-1)-P(n-1)-((k-2)/6)^(n-1)}*1/6

整理すると、
P(n)=P(n-1)*(k-1)/6+{(k/6)^(n-1)-((k-2)/6)^(n-1)}/6

この漸化式を解くと、
P(n)=P(0)*(k-1)/6+{{((k-1)/6)^n-(k/6)^n}/{(k-1)/6-k/6}-{((k-1)/6)^n-((k-2)/6)^n}/{(k-1)/6-(k-2)/6}}/6
=P(0)*(k-1)/6+{{(k/6)^n-((k-1)/6)^n}-{((k-1)/6)^2-((k-2)/6)^n)}}

P(0)=0なので、
P(n)={(k/6)^n-((k-1)/6)^n}-{((k-1)/6)^2-((k-2)/6)^n}
=(k/6)^n+((k-2)/6)^n-2((k-1)/6)^n
={k^n+(k-2)^n-2(k-1)^n}/6^n

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど確率漸化式を作る手もあるんですね。
わざわざ別解まで示して頂き大変参考になりました。