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トートロジーについて
poirot_catの回答
- poirot_cat
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追加ですが ￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)が「背理法」の式というのは，私もおかしいと思います。 直接証明，間接証明，もしかすると，トートロジー以前の問題かもしれません。 例， f(x)；xは6の倍数，g(x)；xは２の倍数 と論理関数を定義します。 また，２つの命題として A=∀ｘ f(x)，B=∃x g(x) とします。Aは偽，Bは真ですから，A→Bは真ですが， A→B≡∀ｘ f(x)→∃x g(x)≡∃x (f(x)→g(x)) です。 これを，この「背理法」で証明しようとすると ￢(A→￢B) ≡A∧B ≡∀x(∃y(f(x)∧g(y))) ですが，やはり偽です。 Aは偽，Bは真ですから当然ですが。 ￢(A→￢B) が真であることは，導けない。A→Bの真偽は不明です。 一方，背理法A∧￢Bでは ∀ｘ f(x)∧ ￢∃(ｙ g(ｙ)) ≡∀ｘ f(x)∧ ∀(ｙ g(ｙ)) ≡∀ｘ (f(x)∧ g(x)) で偽，矛盾と導けます。 前の「背理法」では， ∃x (f(x)→g(x)) ここでは，（６の倍数⇒２の倍数）をみたすｘが存在する，の証明でも，用いられないことがある。となり，使用は限定的にならざるを得ません。 それは， この「背理法」では A→B真 B∧￢Aが真 では，Aが偽，Bが真となって，A∧Bが真は導けないからです。
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