1.スカラ、2.ベクトル、3.？

質問

スカラは量を持つ数、ベクトルは量と方向を持つ数、
それぞれ要素が1つ、2つある数として扱われていますよね。
それならば3つの要素を持つ数を考えてもいいんじゃないかと思うのです。
直感ではそのような数はイメージしにくいのですが形式的に扱われたりすることはあるのでしょうか。

回答No.3

alice_38

スカラーに沢山の添字をつけて
並べただけでは、テンソルにはなりませんね。
テンソルは、線型空間上に定義された量で、
基底の変更にともなって、成分がある特定の
変換を受けないと。

だから、同じサイズの行列でも、テンソルとしては、
共変2価、共変1価反変1価、反変2価の三種類
があり得て、行列イコール2階テンソルでは
ありません。

例えば、一次変換を表す行列は、共変1価反変1価
のテンソル。
二次形式を表す行列は、共変2価のテンソルで、
両者は別物です。

その意味で、ただ添字の個数を増やしたものは、
「高階マトリックス」とでも呼ぶべき
なんだろうけど、普通そういう言い方は
しませんね。
何か、適当な用語があるのかなあ？

お礼

ご解答有難うございます。
何だか自分にはよくわからない話になってきてしまいました。
勉強不足を痛感するところです。

回答No.2

Tacosan

「ベクトル」って言うと, 「数を並べたもの」であったり, あるいはもっと一般に「ベクトル空間」を考えるのが普通だと思う. 逆に言うと, ベクトルを「量と方向の 2つの要素を持つ数」という扱いはあんまり理論的じゃないような気がする.
ちなみに「マトリックスを並べたものがテンソル」という説明はいくらなんでもおかしい＞#1. スカラーやベクトル, 行列も (ある意味では) テンソルの一種だ.

お礼

ご解答有難うございます。
根本から間違っていたということでしょうか。
直感的に捉えていたもので申し訳ない。

回答No.1

proto

スカラーをいくつか並べたものがベクトルです。
一般にn次元ベクトルでn次元空間における方向と大きさを持つ量を表します。

そのベクトルをいくつか並べたものがマトリックス(高校数学では行列と習います)です。
一般にm×n行列でn次元空間からm次元空間への線型写像を表します。

そのマトリックスをいくつか並べたものがテンソルです。
自分は詳しく知りませんが、物理学で実際に応用されているようです。

またプログラミングでは多次元配列というものを扱いますね。
1次元配列がベクトル、2次元配列がマトリックス、3次元以上の配列がテンソルです。

お礼

ご解答有難うございます。
なにやら知らない単語が出てきてしまったので調べてみようと思います。