ベクトルの項数と次元について
- ベクトルの項数と次元について最近の数学カテの回答を見てふと思ったのですが、ベクトルの項数とはベクトルの要素の数を指し、次元とはベクトルの属す部分空間の広がりを表します。昔から項数と次元は混同されることがあり、３項の１次元ベクトルなども存在します。
- しかし、最近のインターネット上の解説や数学カテの回答では、ベクトルの要素数と次元はほぼ同じであるとされています。つまり、ベクトルの要素数が次元として扱われることが一般的です。
- したがって、現在はベクトルの要素数と次元はほぼ同じとみなされ、ベクトルの要素数=次元という扱いがされていると言えます。しかし、昔からベクトルの要素数と次元が同じとされていたかどうかについては明確な情報は得られていません。
- ベストアンサー
ベクトルの項数と次元
最近の数学カテの皆さんの回答を見てふと思ったのですが、 昔大学で ベクトルの項数⇒ベクトルの要素の数 次元⇒ベクトルの属す部分空間の広がり なので３項の１次元ベクトルというものもあって 項数と次元を混同してはいけないと厳しく習いました。 ＃30年前くらいですが・・・ なので項数のことを次元ということは控えていたのですが、 インターネット上の様々な解説やこのカテゴリの回答などでは ベクトルの要素数=次元がかなり一般的に思えます。 で、質問です。 A) 現在は ベクトルの要素数=次元 ということになったのでしょうか？ B) 実は昔から ベクトルの要素数=次元 とすることが多かったのでしょうか？ 以上よろしくお願い致します。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- お礼率23% (32/134)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
項数という言葉は線形代数の世界でよく使われますね。ですが、 ＞なので３項の１次元ベクトルというものもあって・・・ これは間違いだと思います。1次元のベクトル空間に属する3項（3次元）のベクトルというものがあって・・・ならOKと思います。 あくまで、ベクトルの項数＝ベクトルの次元＝ベクトルの成分の個数でよいと思います。 質問者のいわれている次元はベクトルの次元ではなくベクトル空間の次元のことだと思います。 ちなみにベクトル空間の次元というのは、基底となるベクトルの個数のことです。なので、 たとえば、z成分=0となる3次元ベクトルの集合を考えたとき、これは例えば、(1,0,0) と(0,1,0)の2個のベクトルを基底とでき、すべてのベクトルが2個の基底ベクトルの線形演算で表現できますから、上記のベクトルは2次元ベクトル空間に属しているというわけです。
その他の回答 (2)
一次元ベクトル＝直線ベクトル 二次元ベクトル＝平面ベクトル 三次元ベクトル＝空間ベクトル
補足
高校ではこう教えるみたいですね。
これまで要素の数と次元は同じものだと思ってきました． 数学科でなかったためか，いいかげんな教育しか受けなかったためか，たんに私が不勉強であったためかはわかりません． いずれにせよ，たいへん勉強になる質問をありがとうございました．
補足
いえ、数学の用語にも様々な流儀が有るようなので どれくらい一般的なのか確かめたかったのです。 私が昔使っていた教科書では、 「次元」はベクトルとは全く別扱いだったので それが正しい考え方だと思っていたのですが、 間違っていたのかもしれません。 3次元ベクトルは3次元ベクトル空間を表すときのみ 使う名称だと思っていました。
関連するQ&A
- ベクトル空間 次元 について
前回質問（数ベクトル空間 ベクトル空間）させて頂いた内容です。 http://okwave.jp/qa/q8631000.html#answer 前回の質問内容を整理してわからなかった点を再度質問させて頂きます。 ベクトル空間の次元についてですが、以下のように理解しました。 Vはベクトル空間であるとします。 x,y,z∈Vについて、 (1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間 (2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間 (3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間 と理解しました。 R^2は2次元ベクトル空間 R^3は3次元ベクトル空間 R^nはn次元ベクトル空間 という説明がウェブ上で多々ありますが、 これは、ベクトル空間の「成分の数（項数）」であって次元とは関係 ないと理解しました。 ここまでで間違いありますでしょうか？ 間違いがあればご指摘よろしくお願い致します。 *****以下、質問内容***** x,y,z∈Vについて、 (1)x,y,zのうち2つのベクトルが0なら1次元ベクトル空間 (2)x,y,zのうち1つのベクトルが0なら2次元ベクトル空間 (3)x,y,zがどれも0ベクトルでなければ3次元ベクトル空間 ですが、 (1)、(2)、(3)はいずれもR^3の部分空間とのことなのですが、この点がよくわかりません・・・ 私のイメージなのですが、 (1)⊂(2)⊂(3)のイメージがあるのですが、これは大きな間違いでしょうか？ 3次元ベクトル空間の部分空間は2次元ベクトル空間と1次元ベクトル空間 と言ったイメージなのですが・・・ R^3の部分空間であるとは、「成分が3つのベクトル空間」の部分空間と言う事で、 次元とは無関係ですよね？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル空間:次元
（問題）京大 Ｆを体とし、Ｆの元からなる列｛Ａn｝n=1 to ∞でＡn+2＝Ａn+1 + Ａn （ｎ Ｖは項別の和とスカラー場でＦ上のベクトル空間とみなす。ＶのＦ上の次元を求めよ。 という問題ですが次の回答 （解き方） Ｆ上のベクトル空間はＯＫです。0ベクトルは（０，０，０、-----------） ひとつのベクトルとして、(1)ａ≠０、（０，ａ，ａ、ａ、-------） (2)もうひとつはａ≠０,（ａ，b、a+b,a+2b、2a+3b、3a+5b、---------）から各項をａで割った（1，b/a、1+b/a,1+2b/a、2+3b/a、3+5b/a、---------）は、(1)と独立なベクトルでb/aをｃとおけば（1，ｃ、1+ｃ,1+2ｃ、2+3ｃ、3+5ｃ、---------）となり、(1)以外のベクトルはこう表現できるので、２次元である。Ｆが実数の場合はこれでいいのかと思いますが一般の体Ｆではどうすべきでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 次元に関しても立場の対立はあるのでしょうか？
無限に関しては、可能無限と実無限の二つの立場がありますし、数に関しても、実在するという人としないという人がいますが、次元に関してはこのような対立を聞いたことがありません。 次元に関しても、同じように、立場の対立があるのでしょうか（すなわち、0・1・2次元は思考上の道具に過ぎず、実在はしないとする立場はあるのでしょうか）。 あるのだとしたら、本を紹介していただけると嬉しいです。 なお、4次元以上についてはここでは不問とさせていただきます。 ちなみに、カテゴリーに関しては、こちらの方が回答が付きやすいと思ったので、数学カテではなく、哲学カテにさせていただきました。
- ベストアンサー
- 哲学・倫理・宗教学
- ベクトルの証明問題です。
3次元の実線形空間のベクトルx={x1,x2,x3}＾Tのうち、x1+x2+x3=0を満たすものは、3次元の実線形空間の部分空間を作ること、ならびにその部分空間は2次元であることを示しなさい。 この問題の解説を何方か宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数ベクトル空間 ベクトル空間
数ベクトル空間について教えて下さい。 ベクトル空間の章で数ベクトル空間という言葉がかなり多く 用いられます。数ベクトル空間がどのようなものかよく分かりません・・・ 数ベクトル空間の定義 K上の数ベクトル空間Vとは、 数の組をベクトル空間として扱ったもので、 V:={（a1・・・an）｜a1,・・・,an∈K} と定義される。 ここで質問なのですが、数ベクトル空間は具体的にどのよう なものでしょうか？ また、数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間という理解は正しいでしょうか？ 数ベクトル空間でないベクトル空間 ってどのようなものがあるのでしょうか？ 数ベクトル空間の例とベクトル空間の例を具体的に示して頂けない でしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 宇宙人は四次元空間にいる？
こんにちは。どのカテゴリーで質問したらいいか分からなかったのでとりあいずこのカテゴリーで質問させてもらっています。 数学の先生が授業中に次元のことについて雑談をしていました。それは宇宙人と次元の話です。 例えば人間は３次元空間に住んでいます。本当は１０次元だか１１次元だか良く分からないですが、とりあいず人間は３次元空間に住んでいると仮定します。 それと比較してアリは２次元空間に住んでいます。もちろん人間と同じ３次元空間に住んでいますが話を簡素化するために２次元空間に住んでいると仮定します。 地面を移動しているアリにとっては縦と横しかなく、高さという概念はありません。しかし、人間は縦と横という次元に高さという次元があります。アリにとっては２次元しかないので３次元空間に人間が住んでいることが分かりません。人間を確認するための高さという次元が足りないからです。 しかし、３次元空間に住んでいる人間から２次元空間にアリが住んでいることは確認できます。人間が生きている空間のほうが次元が１つ高いからです。 同様にして４次元空間があるとしてそこに宇宙人がいるとしたら、３次元空間の人間が２次元空間のアリを見るように、４次元空間の宇宙人も３次元空間の人間を見ているかもしれません。 それより高い次元で５次元空間宇宙人や６次元空間宇宙人なんかもいるかもしれません。 ただ人間は３次元空間に住んでいるので彼らと会うことはないとおもいます。 僕の疑問は生きている生命はそれぞれ違う次元に生きているのではないかな～。ということです。 そうであれば宇宙人が４次元空間に住んでいてもおかしくないと考えました。 皆さんはそんなことがあるとおもいますか？ 長文になりましたがご回答よろしくお願いします！ ちょっとしたことでも投稿してくれるとうれしいです。(^^)
- ベストアンサー
- 物理学
- 二次元配列が、勝手に一次元配列になってしまう
Excelのマクロで、二次元配列を格納したバリアント型を戻り値とする関数を作ったのですが、… 二次元型配列のひとつの要素数が1の時、受け取ったバリアント型変数は、一次元配列になっています。 列ベクトルなら、それもありかな～と思うのですが、なんで、行ベクトルまで、一次元配列にするんだよ～って、困っています。 シートから関数を呼んだ場合は、列ベクトルは列ベクトル、行ベクトルは行ベクトルとして、表示されるので、マクロの中で関数を呼び出した場合も、行列の情報を保持できる方法があるんじゃないかと思ったのですが。 どなたか、ご教示頂けるとありがたいです。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- Visual Basic
- 次元と次元空間
ふと思ったのですが物理で多次元って いうのがあるようなのですが あれは多次元空間のことを言ってる のですか？ 例えば超ひも理論は10次元？とか 聞きますが それら10個の軸は 互いに内積０の関係にある10次元空間内の 理論なんでしょうか？ 以前 水素原子モデルの電子運動を 計算したのですがそこでは11次元が 出てきて、その次元要素は確か 位置の3次元 軌道角運動量の3次元 角運動量の3次元 スピン角運動量の2次元 の3＋3＋3＋2＝11で 3次元空間内での11次元表記と 理解したのですが超ひもとかも こんな感じなんでしょうか？ できれば 実際に計算で理解された方の 回答がほしいです
- 締切済み
- 物理学
お礼
ちょっと調べた結果です。 成分数をなんと呼んでいるか？ 1) 線形代数の本４冊→項数、成分数、成分の数 2) ベクトル解析の本2冊→次元 3) コンピュータ数学の本２冊→次元 4) 物理数学の本２冊→次元 貧弱な統計ですが、私の本棚では、線形代数の数学者だけが 頑なに次元と呼ぶことを拒否しているような気がします。 きっと混同がおそれたのでしょうね。 ありがとうございました。
補足
回答ありがとうございます。 ベクトルでは「次元」は別の意味(成分の個数)になる ということですね。 言葉の使われ方(習慣)の話なので、それで問題無ければ良いと 思うのですが、他のかたのご意見もお聞きしたいですね。