楕円のｘの最大値と最小値

質問

前にも似た質問をしたものです。
r=1/(1+αsinθ)　(0<α<1)
で表わされる楕円のxの最大値と最小値の求め方がわかりませんので
教えてください！！

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#2です。

A#2の(2)式にミスがありましたのでそれに伴う訂正をします。
誤:x^2+(1-α^1)[y+{α/(1-α^2)}]^2=1+{α/(1-α^2)}^2…(2)
正：x^2+(1-α^2)[y+{α/(1-α^2)}]^2=1+{α^2/(1-α^2)}…(2)

誤：y=α/(1-α^2)…(3)
正：y=α/(1-α^2)…(3)

誤：x^2=1+{α/(1-α^2)}^2
正：x^2=1+{(α^2)/(1-α^2)}=1/(1-α^2)
　　↑この平方根がxの最小値と最大値になります。

お礼

またまた図で説明していただきありがとうございました！

回答No.3

nag0720

先日の質問での回答しましたが、
r=1/(1+αsinθ)　(0<α<1)
を、xy座標で表すと、
x^2+(1-α^2)(y+α/(1-α^2))^2=1/(1-α^2)

xの最大値と最小値は、y=-α/(1-α^2)のときで、
x=±1/√(1-α^2)

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5548319.html

お礼

わかりました。
ありがとうございました！！

補足

ありがとうございます！
ちなみにこの囲まれる図形の面先は
∫r^2 dθ
0→π　の積分でいいでしょうか？

回答No.2

info22

極座標で分かりにくいかも知れないけど
0<α<1　なので
　r=1/(1+αsinθ)　(0<α<1)　…(1)
は楕円の極座標方程式になります。

xy直交座標で言えばsinθがθ＝π/2に対して対称なので
(1)はy軸に対して対称であることが分かります。

(1)にxy直交座標系との関係式
　x=rcosθ、y=rsinθ (r>0)
で直交座標に変換すると
　√(x^2+y^2)+αy=1
変形して
　x^2+y^2=(1-αy)^2
　x^2+(1-α^2)y^2+2αy=1
　∴x^2+(1-α^1)[y+{α/(1-α^2)}]^2=1+{α/(1-α^2)}^2…(2)
これはxy座標系での楕円の式を表します。
この楕円の水平方向の対称軸
　y=α/(1-α^2)…(3)
でxが最小値と最小値を取ります。
(3)を(2)に代入すれば
　x^2=1+{α/(1-α^2)}^2
平方根をとれば
xのマイナスの方が最小値、プラスの方が最大値になります。
あとは式を適当に整理するだけでしょう。

回答No.1

edomin7777

「r=1/(1+αsinθ)　(0<α<1)」
には、「x」が出てこないのだが…。
「楕円のxの最大値と最小値」
は、何を求めたいの？

補足

すいません、わかりにくいですね。
極座標で表していますので、原点からの距離をr,x軸からの角度をθということです。