情報基礎数学 共通集合 論理演算

質問

質問なんですが、Πを共通集合を表す記号として、Pnを閉区間[0,1/n]と定めるとき、このΠPnを求める問題なんですが、自分なりにやったんですが、これは合ってますか？

解)
Pn = { {p∈R|0≦p≦1} , {p∈R|0≦p≦1/2},…,{p∈R|0≦p≦1/n} }より
lim[n→∞]Pn = {p∈R|0≦p≦0} = {p∈R|0 = p}
ゆえにΠPn = 0

回答No.3

Caper · ベストアンサー

● ご質問の文章内に提示されました解答の表記のしかたが適切かどうかということでしょうか。
　 もしそうでしたら、下の添付画像の (1) (2) (3) がよろしいかと、私は思います。ただし、(3) については、(4) に書き改めたい気持ちに私はかられました。
　 なお、(1) (2) (3) を答案に書いたからといって、まるがもらえるかどうかは私にはわかりません。あくまでも tomato1414 さん の意向をできるだけ重んじて、適切であろうかと私が思う表記を (1) (2) (3) として紹介したまでです。

● ANo.1 において、nag0720 さん は「 εδ論法 」に触れていらっしゃいます。以下は、「 εδ論法 」についてのつけたしです。

　「 数列 x1, x2, x3, … , xn, … が a に収束する 」とは、例えば、次のように習いませんでしたでしょうか。

　 0 より大きい 1つ の実数 ε を任意に選んだときに、次の (*) を満たす自然数 n0 が少なくとも 1つ 存在することである。
　(*) n0 より大きい 1つ の自然数 n を任意に選んだときに、|xn - a| < ε となる。

　 もし上記のように、もしくは上記に類似した形で習ったとするならば、数列 1, 1/2, 1/3, … , 1/n, … が 0 に収束することを示すときに、(*) を満たす自然数 n0 の存在が問われるかもしれません。
　 その存在が問われる場合には、n0 を 1/ε 以上 の自然数と定めればよいのではないかと、私は思います。

● 以下は、settheory さん が提示なさいました ANo.2 についてのつけたしです。

　 集合 Pn を、下の添付画像の (1) とします。なお、R は「 実数全体の集合 」を表わすものとします。
　 下の添付画像の (3) もしくは (4) の左辺は、(5) のように書き換えることができると、私は思います。なお、N は「 自然数全体の集合 」を表わすものとし、∧は「 かつ 」を表わすものとします。(5) の { } の中を日本語で記述するならば、次のようになると、私は思います。

　「 p は実数であり 」かつ「 自然数の中から n を任意に 1つ 選んだときに、0≦p≦1/n を満たす 」ような p 全体の集合。

　 ところで、settheory さん は「 アルキメデスの原理 」に触れていらっしゃいます。私が持っている数学書には、「 アルキメデスの公理 」として、次のような記述があります。

　 0 より大きい 2つ の実数 a, b を任意に選んだときに、a < nb を満たすような自然数 n が存在する。

　 上記の公理は、a = 1 としても有効です。そして、不等式の両辺を n で割ってもさしつかえありません。ゆえに、次のような記述も可能になると、私は思います。

　 0 より大きい 1つ の実数 b を任意に選んだときに、1/n < b を満たすような自然数 n が存在する。

　 これにより、下の添付画像の (5) における ∀n((n∈N)→(0≦p≦1/n)) は、p が 0 より大きいときに偽となってしまいます。言い換えれば、「 p が 0 より大きい場合は、自然数の中から n を任意に 1つ 選んだときに 0≦p≦1/n を満たさないことがある 」となります。
　 このことと、n が自然数である限り 1/n が 0 以下にならないことを考え合わせれば、(5) は (6) のように書き換えることができると、私は思います。

● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。

お礼

返事が遅くなりました。。
丁寧な説明をありがとうございます！
ちょっと気になったのは（６）が任意のｎを定めた時点でｐ＝０とするのは少しまずいかな？？と思ったくらいで、あとは自分の曖昧にしていた表記に正確さが持ててためになりました(^o^)
また何かあったときはよろしくお願いします。

回答No.5

Caper

● ANo.3 および ANo.4 の記述は、まちがっているようですね。tomato1414 さん と閲覧者の皆さんにお詫びいたします。まことに申しわけありません。

　 以下において、訂正回答を私は記述します。この訂正回答もまちがっているかもしれませんが、以前の記述より少しはましではないかと、私は考えます。　

● ANo.3 において、アルキメデスの公理より、「 0 より大きい 1つ の 実数 b を任意に取り出したときに、1/n < b が真である 自然数 n が存在する 」と、私は記述しました。この命題を論理記号を用いて表記すると、次のとおりになると思われます。なお、b の代わりに p を用いました。そして、￢ は否定を意味する記号です。また、この命題はアルキメデスの公理によるものですから、もちろん真になります。

∀p(((p ∈ R)∧(p > 0))→∃n((n ∈ N)∧(1/n < p)))

　 この論理式を、次のとおりに変形してみました。

∀p(((p ∈ R)∧(p > 0))→∃n((n ∈ N)∧(1/n < p)))
≡ ∀p((p ∈ R)→(￢(p > 0)∨∃n((n ∈ N)∧(1/n < p)))) … 1)
≡ ∀p((p ∈ R)→(∃n((n ∈ N)∧￢(p > 0))∨∃n((n ∈ N)∧(1/n < p)))) … 2)
≡ ∀p((p ∈ R)→(∃n(((n ∈ N)∧￢(p > 0))∨((n ∈ N)∧(1/n < p))))) … 3)
≡∀p((p ∈ R)→∃n((n ∈ N)∧(￢(p > 0)∨(1/n < p)))) … 4)
≡∀p((p ∈ R)→∃n((n ∈ N)∧￢((p > 0)∧(1/n ≧ p)))) … 5)
≡∀p((p ∈ R)→∃n(￢((n ∈ N)→(0 < p ≦ 1/n))))
≡∀p((p ∈ R)→￢(∀n((n ∈ N)→(0 < p ≦ 1/n)))) … 6)
≡∀p(￢(p ∈ R)∨￢(∀n((n ∈ N)→(0 < p ≦ 1/n))))
≡∀p(￢((p ∈ R)∧∀n((n ∈ N)→(0 < p ≦ 1/n)))) … 7)
≡￢(∃p((p ∈ R)∧∀n((n ∈ N)→(0 < p ≦ 1/n)))) … 8)

1) (A∧B)→C ≡ A→(￢B∨C) より。
2) ∃x(a(x)) が真のとき、すなわち {x| x ∈ a(x)} が空集合ではないとき、B ≡ ∃x(a(x)∧B) より。
3) ∃x(a(x))∨∃x(b(x)) ≡ ∃x(a(x)∨b(x)) より。
4) 命題論理における、分配法則より。
5) 命題論理における、ド・モルガンの法則より。
6) 述語論理における、ド・モルガンの法則より。
7) 命題論理における、ド・モルガンの法則より。
8) 述語論理における、ド・モルガンの法則より。

● ANo.3 において、∩Pn = {p| (p ∈ R)∧∀n((n ∈ N)→(0 ≦ p ≦ 1/n))} と、私は記述しました ( ∩ の真下において、n ∈ N が抜けています )。この集合についての式を、次のとおりに変形してみました。

∩Pn
= {p| (p ∈ R)∧∀n((n ∈ N)→(0 ≦ p ≦ 1/n))}
= {p| (p ∈ R)∧∀n(￢(n ∈ N)∨(p = 0)∨(0 < p ≦ 1/n))}
= {p| (p ∈ R)∧((p = 0)∨∀n(￢(n ∈ N)∨(0 < p ≦ 1/n)))} … 9)
= {p| ((p ∈ R)∧(p = 0))∨((p ∈ R)∧∀n((n ∈ N)→(0 < p ≦ 1/n)))} … 10)
= {p| (p ∈ R)∧(p = 0)}∪{p| (p ∈ R)∧∀n((n ∈ N)→(0 < p ≦ 1/n))} … 11)
= {0}∪φ … 12)
= {0}

9) ∀x(a(x)∨B) ≡ ∀x(a(x))∨B より。
10) 命題論理における、分配法則より。
11) S∪T = {s| s ∈ S}∪{t| t ∈ T} = {u| (u ∈ S)∨(u ∈ T)} より。
12) 上記の 8) が真になりますから、∪ の右側に位置する集合は空集合になります。

回答No.4

Caper

私は ANo.3 を投稿した者です。
　 ANo.3 において、表現の不足がありました。それらの不足をうめさせてください ( うめたとしても、理解しづらいままかもしれませんが … )。

　 次のところにそれぞれ、「 必ず 」という言葉を挿入させてください。まことに申しわけありません。

　 ANo.3 における 2番目 の ●項目 において ( 3か所 )

1) … ε を任意に選んだときに、次の (*) を「 必ず 」満たす自然数 n0 が …

2) … n を任意に選んだときに、|xn - a| < ε と「 必ず 」なる。…

3) … 数列 1, 1/2, 1/3, … , 1/n, … が 0 に収束することを示すときに、(*) を「 必ず 」満たす自然数 n0 の存在が …

　 ANo.3 における 3番目 の ●項目 において ( 3か所 )

4) …「 p は実数であり 」かつ「 自然数の中から n を任意に 1つ 選んだときに、0≦p≦1/n を『 必ず 』満たす 」ような p 全体の集合。…

5) … 0 より大きい 2つ の実数 a, b を任意に選んだときに、a < nb を「 必ず 」満たすような自然数 n が存在する。

6) … 0 より大きい 1つ の実数 b を任意に選んだときに、1/n < b を「 必ず 」満たすような自然数 n が存在する。

回答No.2

settheory

方向性はあってるように思いますが、書き方が微妙に変な気がします。

Pｎ＝[0,1/n]　という閉区間としているのに、解答の一行目は｛P_0 , P_1 , ・・・ Pn｝という、P_0からPnまでを集めた集合を書いています。

二行目のlimはよくわかりません。通常にはない使い方をしてるように思います。

こういう問題は、要素をとって、それがもつ性質を考察するのが基本だと思います。

x∈ΠPnをとります。

任意の自然数ｎに対し、x∈Pn=[0,1/n]　となる。（どのPnにも属しているというのが、一行目の内容だから。）故に、

任意の自然数ｎに対し、0≦x≦1/n　となる。

これより、アルキメデスの原理から　x=0 となる。

∴　ΠPn={0}　（0のみからなる集合）

「＝０」と書いてしまうと、空集合と解釈するのが普通なので気をつけてください。（要素がひとつしかない時は、よく括弧が省略されますが。）

共通部分をとるという演算が、論理の「任意」に対応していることがわかると思います。

お礼

返事が遅くなりました。。
ありがとうございます！
方向性があってたというので安心しましたし、簡潔な解答をありがとうございます。
また何かあったときはよろしくお願いします。

回答No.1

nag0720

＞Pn = { {p∈R|0≦p≦1} , {p∈R|0≦p≦1/2},…,{p∈R|0≦p≦1/n} }より

？？？
Pn = {p∈R|0≦p≦1/n}　と定めたのではないですか？

{P1, P2,…, Pn} = { {p∈R|0≦p≦1} , {p∈R|0≦p≦1/2},…,{p∈R|0≦p≦1/n} }
のつもりで書いたのでしょうか。そうだとしても通常このような書き方はしません。

lim[n→∞]Pn = {p∈R|0 = p}
を示すのではなく、
Π[n→∞]Pn = lim[n→∞]Π[k=1～n]Pk がどうなるかを示したほうがいいでしょう。

最後は、ΠPn = 0　ではなく、
ΠPn = {0}　　（0だけの集合）
または
ΠPn = [0]　　（0だけの閉区間）
です。

高校生でしょうか。高校までの数学ならこの考え方でＯＫです。
大学の数学なら、極限をεδ論法で説明したほうがいいでしょう。

お礼

返事が遅くなりました。。
ありがとうございます！
また何かあったときはよろしくお願いします。