垂直ベクトル

質問

Ａ＝5i-2j+3k B=2i+3j+5k
に直角な単位ベクトルを求めたいのですがどう計算したらいいでしょうか？

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

内積から計算する方法もありますが、外積から一発で出す方法もあります。
外積：Ａ×Ｂは、それぞれのベクトルに垂直になります。

外積の求め方は、Ａ= (a1, a2, a3)、Ｂ= (b1, b2, b3)とすると
Ａ×Ｂ= (a2*b3- a3*b2, a3*b1- a1*b3, a1*b2- a2*b1)となります。

ちなみに、Ａ・(Ａ×Ｂ)の「内積」を上の成分で計算してみると 0になることがわかります。

回答No.5

eliyyahuu

naniwacchiさん、すみません。敬称を付け忘れました。

得られたベクトルＣがＡとＢとそれぞれ垂直になっているか検算するために、
ＣとＡの内積、ＣとＢの内積を求めてみます。

一般に内積の求め方は、
Ｘ= (x1, x2, x3)、Ｙ= (y1, y2, y3)とすると
ＸとＹの内積= Ｘ・Ｙ= x1*y1 + x2*y2 + x3*y3 です。

Ｃ・Ａ = c1*a1 + c2*a2 + c3*a3 = (-19*5) + (-19*-2) + (19*3)
19 * (-5 + 2 + 3) = 19 * 0 = 0
内積が0なので、ＣとＡは垂直になっている。

Ｃ・Ｂ = c1*b1 + c2*b2 + c3*b3 = (-19*2) + (-19*3) + (19*5)
19 * (-2 - 3 + 5) = 19 * 0 = 0
内積が0なので、ＣとＢは垂直になっている。

回答No.4

eliyyahuu

de_tteiuさんの仰るとおり、
「外積を使った後に、単位ベクトルに直せばよい」のです。

外積の求め方は、naniwacchiの仰るとおりです。
Ａ= (a1, a2, a3)、Ｂ= (b1, b2, b3)とすると
外積= Ａ×Ｂ= (a2*b3- a3*b2, a3*b1- a1*b3, a1*b2- a2*b1)
あてはめてみると、
Ａ= (5, -2, 3)、Ｂ= (2, 3, 5)
Ａ×Ｂ= ((-2*5)-(3*3), (3*2)-(5*5), (5*3)-(-2*2))
= ((-10)-(9), (6)-(25), (15)-(-4))
= (-19, -19, 19) = -19i -19j +19k

ベクトルＣ= (c1, c2, c3)とすると
Ｃの単位ベクトルＣ'は　Ｃ'= Ｃ/(Ｃの絶対値)　です。
Ｃの絶対値|Ｃ|は　
|Ｃ| = √(c1^2 + c2^2 + c3^2) = √((-19)^2 + (-19)^2 + (19)^2)
= √(361 + 361 + 361) = √(3*361) = 19*√3
よってＣ'= (-19, -19, 19)/(19*√3) = (-19/(19*√3), -19/(19*√3), 19/(19*√3))
= (-1/√3, -1/√3, 1/√3) = -i/√3 -j/√3 +k/√3

検算すると、|Ｃ'| = √((-1/√3)^2 + (-1/√3)^2, (1/√3)^2)
= √(1/3 + 1/3 + 1/3) = √(3/3) = 1
絶対値が1なので確かに単位ベクトルになっています。

直角なベクトルは、それとちょうど逆も直角なベクトルになります。
すなわち、Ｃ'が直角なベクトルならば-Ｃ'も直角なベクトルになります。
-Ｃ' = -(-1/√3, -1/√3, 1/√3) = (1/√3, 1/√3, -1/√3)

よって、ＡとＢに直角な単位ベクトルは、
-i/√3 -j/√3 +k/√3 および i/√3 +j/√3 -k/√3

回答No.2

de_tteiu

外積を使った後に、単位ベクトルに直せばよい
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/vector/henkan-tex.cgi?ta...​
​http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/vector/henkan-tex.cgi?si...​

回答No.1

sanori

こんばんは。

求めるベクトルをＣ（α，β，γ）と置きましょうか。
垂直であれば、内積がゼロになります。

内積　＝　ｘ成分同士の掛け算　＋　ｙ成分同士の掛け算　＋　ｚ成分同士の掛け算

ＡとＣは垂直
５α　－　２β　＋　３γ　＝　０

ＢとＣは垂直
２α　＋　３β　＋　５γ　＝　０

Ｃは単位ベクトル
α^2　＋　β^2　＋　γ^2　＝　１

式が３本立ちましたので、α、β、γの３つが求まります。

ご参考になりましたら幸いです。

お礼

みなさんありがとうございます。
とても参考になりました