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- brogie
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回答は出揃っていますから、それ以上必要はないでしょう。 これはベクトルについての基本ですから、確り理解しておきましょう！ karu42さん頑張ってネ！
*は×（外積）ですよね？ I＝（１、０、０） J＝（０、１、０） K＝（０、０、１） と具体的に書いて行列式を計算しましょう。 または、右ねじの法則を使いましょう。試しに２問目で使ってみましょう。 ベクトルA、ベクトルB、ベクトルCがあるとき、 ベクトルB×Cは、BからCに向かってネジを回したときにネジが進む向きに指します。従って。ベクトルB×CはベクトルB、ベクトルCに直交するベクトルです。もっと言えば、ベクトルBベクトルCがこの順序で張る平面の法線ベクトルに一致します。ベクトルB×CとベクトルAの内積が今０なので、ベクトルB×CとベクトルAは直交します。とすると、ベクトルAはどこに行けばいいのかおのずと分かりますね？ベクトルB×C（＝平面BCに直交する法線ベクトルの向き）とベクトルAは直交するのですから。 このことを実際の空間で確めるには、1問めのI,J、Kを使ってI・（J＊K）を計算してみてください。ゼロになりますか？なりませんか？次に例えば、D＝３J＋２KとなるベクトルDを用いて、D・（J*K)を計算してみてください。今度はちゃんとゼロになりましたでしょうか？そしてこのベクトルDはどういうベクトルでしょうか？確めてみてください。
- taropoo
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２つのベクトルをａ,ｂの外積をｃ＝ａ×ｂとすると、幾何学的には次の３つの性質を持ちます。 １．長さはベクトルａ,ｂの張る平行四辺形の面積に等しい。 ２．ｃはａ,ｂの両方に垂直である。 ３．ａ，ｂ，ｃは右手系をなす。 代数的にいうと ａ=(a1, a2, a3) ｂ=(b1, b2, b3) ｃ=(c1, c2, c3) として c1 = a2*b3 - a3*b2 c2 = a3*b1 - a1*b3 c3 = a1*b2 - a2*b1 です。 問題１に関しては「x,y,z方向の単位ベクトル」と成分が与えられているので I=(1,0,0), J=(0,1,0), K=(0,0,1) を上の代数的な定義に代入してやればほとんど自明に解けます。 問題２も同様に代数的に解いていきましょう。 Ａ=(a1, a2, a3) Ｂ=(b1, b2, b3) Ｃ=(c1, c2, c3) さらにＤ=Ｂ×Ｃとして Ｄ=(d1, d2, d3) さて、まず、Ｄを求めましょう。 d1 = b2*c3 - b3*c2 d2 = b3*c1 - b1*c3 d3 = b2*c2 - b2*c1 こうすると Ｂ・Ｄ = b1*d1 + b2*d2 + b3*d3 = b1(b2*c3 - b3*c2) + b2(b3*c1 - b1*c3) + b3(b2*c2 - b2*c1) = 0 同様にＣ・Ｄ = 0 も確かめられます。 更に仮定よりＡ・Ｄ = 0 よってベクトルＡ，Ｂ，ＣはＤを法線ベクトルとする平面上にある事が示されました。
- ume_pyon
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ベクトルの基本性質を理解するいい問題です。 たぶん、力学などのテキストに載っていると思うので、そちらを参照してみて下さい。 でも、これではあまりに無責任なんで、私なりのベクトルのイメージ的な理解の 仕方をアドバイスします。 ベクトル＊ベクトル＝ベクトルです。つまり、向きをもつのがポイントです。 この点が内積との大きな違いです。さらに、その向きは右ネジの方向に従いますから、 i*jとj*iは符号が異なるのですね。 k,m,nが、お互いに垂直な単位ベクトルであるとき、１．のようなことがいえるのです。 でも、これってあたり前といってしまえばそれまでですし、証明は難しいですよね。 僕も基本定理の証明は苦手です。。。図を書いてみると分かりやすいですよ。 ２．について。a・(b*c)はa,b,cを辺とする平行六面体（a,b,cを辺とする箱）の 体積のことなんですね。なぜそうなるかは考えてみて下さい。図を書いてみると わかりますよ。このことより、a・(b*c)=0となるときのベクトルの関係は分かりますね。 それにしても、証明って難しいですよね。
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