教えてください

質問

問題で
√x＝ｔ＋1/t (t>0)のとき
√(x＾2-4X)をtで表すのはどのようにして求めるといいのですか？

x=(t＋1/t)＾2=t＾2＋2＋1/t＾2
まではわかるのですが、
参考書の答えに
√｛x(x-4)｝
=(t＋1/t)・|t-1/t|
上の(t＋1/t)・|t-1/t|
がどこから出たのかわかりません。
それから、
範囲分けをするときに
t-1/t≧0のとき、t≧1のとき
t＾2-1/t＾2にどうしてなるのか？

t-1/t<0のとき、0<t<1のとき、1/t＾2-t＾2
にあらわれるのかわかりません。
くわしく教えてもらえるとうれしいです。

回答No.4

rei00 · ベストアンサー

rei00 です。

> どうして、
> t < 1/t の両辺に t < 0 をかけると，t^2 > 1 です。
> になるのでしょうか？

　失礼しました。m(_ _)m　私のミスです。

　先の回答の『t < 1/t の両辺に t < 0 をかけると，t^2 > 1 です。この事と t > 0 とから，1 > t > 0 です。』部分間違ってます。次の様に訂正して下さい。

　t > 0 ですから，t < 1/t の両辺に t > 0 をかけると，t^2 < 1（つまり，-1 < t < 1）です。この事と t > 0 とから，1 > t > 0 です。

　これで解りますでしょうか。

補足

さっそく、回答してくれてありがとうございます。
おかげさまで、理解することができました。
ありがとうございます

回答No.3

rei00

『x=(t＋1/t)＾2=t＾2＋2＋1/t＾2』ですから，

　　x-4 = t^2+(1/t)^2-2 = (t-1/t)^2

　なのは良いですか？

　すると，　√｛x(x-4)｝= √｛(t+1/t)^2(t-1/t)^2｝ となります。

　ここで，t > 0 ですから，t+1/t > 0 ですが，t-1/t は正負どちらにもなりえますので，√ を外すと絶対値が付きます。

　∴ √｛x(x-4)｝= √｛(t+1/t)^2(t-1/t)^2｝
　　　　　　　　 = (t＋1/t)・|t-1/t|

　ここで，絶対値の中（t-1/t）の正負で場合分けします。

まず，t-1/t ≧ 0 の場合です。

　この場合，t ≧ 1/t で，t > 0 ですから，両辺に t をかけた t^2 ≧ 1 と同じ事です。ここで，t > 0 ですから，この事は t ≧ 1 を意味します。

　この時，|t-1/t| = t-1/t ですから，

　　√｛x(x-4)｝= (t＋1/t)・|t-1/t|
　　　　　　　　= (t+1/t)(t-1/t)
　　　　　　　　= t^2-1/t^2

t-1/t < 0 の場合も同様に考えて下さい。

　t < 1/t の両辺に t < 0 をかけると，t^2 > 1 です。この事と t > 0 とから，1 > t > 0 です。

　この時，|t-1/t| = -(t-1/t) ですから，

　　√｛x(x-4)｝= (t＋1/t)・|t-1/t|
　　　　　　　　= -(t+1/t)(t-1/t)
　　　　　　　　= 1/t^2-t^2

　いかがでしょうか。

補足

t-1/t < 0 の場合も同様に考えて下さい。
についておしえてください。

t < 1/t の両辺に t < 0 をかけると，t^2 > 1 です。この事と t > 0 とから，1 > t > 0 です。
の意味がわかりません。
どうして、
t < 1/t の両辺に t < 0 をかけると，t^2 > 1 です。
になるのでしょうか？
すいません

回答No.2

noname#7269

√a^2＝|a|は理解できています？
そして、x=(t＋1/t)＾2=t＾2＋2＋1/t＾2-2　まで理解できているのであれば、
x-2=t＾2＋1/t＾2　であり、
x(x-4)=(x-2)^2-4　はよろしいですか？
とすると・・・。
x(x-4)=(x-2)^2-4=(t＾2＋1/t＾2)^2-4=t^4-2+1/t^4
=(t^2-1/t^2)^2　ですので、最初に書いたのをここで使い・・・。
√｛x(x-4)｝ =|t^2-1/t^2|
因数分解して、
=|t+1/t|・|t-1/t|

となりt>0ですから、前半は正になりますので、絶対値を付けなくてもいいわけです。

次に・・・。
t-1/t≧0を解くわけですが、二次不等式って習いました？習っているのであれば
t>0ですので、ｔを両辺にかけても大小関係は変わりませんので、t^2-1≧0を解いてください！
もちろん、t>0を頭に入れてくださいね！
するとt^2-1≧0のとき、すなわちt≧1のときとなります。
この範囲で、|t-1/t|の絶対値をはずします。
絶対値の中が、正なのでそのままはずす。
t-1/t<0のとき、すなわち0<t<1のときも同様です。
そして、この範囲では絶対値の中が負になりますので、|t-1/t|=-(t-1/t)とマイナスをつけ全体で正にします。

あとは、大丈夫ですね・・・。

回答No.1

fushigichan

tati353さん、こんにちは。

＞x=(t＋1/t)＾2=t＾2＋2＋1/t＾2
まではわかるのですが、
＞√｛x(x-4)｝
=(t＋1/t)・|t-1/t|
上の(t＋1/t)・|t-1/t|

なるほど！x=(t+1/t)^2=t^2+2+1/t^2
を使っています。

√x(x-4)=√{(t+1/t)^2}{t^2-2+1/t^2}
=(t+1/t)√(t-1/t)^2←まず、(t+1/t)^2の√だから、それをはずす
=(t+1/t)|t-1/t|←後半の部分は(t-1/t)^2となるのでそのルートをはずす

という感じです。
どうして√(t+1/t)^2=t+1/t
なのかというと、t>0だから、t+1/t>0だからです。

また、どうして√(t-1/t)^2=|t-1/t|
なのかというと、t-1/tの符号は分からないからです。

そこで、場合わけが必要になってきます。
1)t-1/t≧0のとき、
すなわち、(t^2-1)/t≧0のとき。
(t-1)(t+1)/t≧0
t≧1のとき。絶対値はそのままはずれるので、
|t-1/t|=t-1/t

したがって、このとき
√x(x-4)=(t+1/t)(t-1/t)=t^2-1/t^2

2)t-1/t<0のとき、
このとき(t^2-1)/t<0
t^2-1=(t-1)(t+1)<0
t+1>1ですから、t-1<0すなわち、t<1のときとなります。
このときは、絶対値はマイナスをつけてはずれるので
|t-1/t|=-t+1/t

したがって、このとき
√x(x-4)=(t+1/t)(-1)(t-1/t)
=-(t^2-1/t^2)
=-t^2+1/t^2

となります。ご参考になればうれしいです。

補足

場合わけについておしえてください
＞t-1/t<0のとき、
このとき(t^2-1)/t<0
のt＾2になるのがわかりません。
これはどこからでたものですか？