微分の計算がわかりません

質問

(1)lim[x→0](x^2 + x)/(x^2 - x)

(2)lim[x→∞](x+1)/(x-1)

基本的な微分計算は習ったつもりですが、これって基本問題でしょうか？なんかテクニックのにおいがぷんぷんするんですが・・・。みなさんよろしくお願いします。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

vice_macmahonさん、こんにちは。

＞(1)lim[x→0](x^2 + x)/(x^2 - x)
=lim[x→0]x(x+1)/x(x-1)
=lim[x→0](x+1)/(x-1)
=lim[x→0](x-1+2)/(x-1)
=lim[x→0]{1+2/(x-1)}
ここで、x→0のとき、2/(x-1)→0となるから、
lim[x→0]{1+2/(x-1)}=1

＞(2)lim[x→∞](x+1)/(x-1)
これも同様に
(x+1)/(x-1)={(x-1)+2}/(x-1)=1+2/(x-1)と変形。
よって、
lim[x→∞]=(x+1)/(x-1)
=lim[x→∞]{1+2/(x-1)}
=1
となります。

式変形の仕方は、一つのテクニックなので、覚えこんでしまうといいですね。
頑張ってください！！

お礼

お返事どうもありがとうございます。
訂正読ませていただきました。お速く訂正していただいてどうも助かりました！！
式変形の過程が丁寧で助かりました！！

回答No.4

fushigichan

＃２です。
（１）でｘ→無限大と間違えていました。

ｘ→０のときは、2/(x-1)→-2となるので
求める極限は、
lim[x→0](x^2 + x)/(x^2 - x) =lim[x→0]{1+2/(x-1)}
=1-2=-1
となりますね。
訂正させていただきます。申し訳ないです。

お礼

いえいえわざわざどうもありがとうございました。
早く解決できてよかったです！！

回答No.3

yamutya

基本問題です
（１）は　約分して　ｘ＋１／ｘ－１
　　　　０を代入して　答え　ー１
（２）ｘで割って　（１＋１／ｘ）／（１－１／ｘ）
　　　　ｘ→∞とすれば　答え　１

お礼

こんにちは。お返事どうもです！！
なるほど、分母が0にならないから直接代入できるんですね。その方法だとシンプルに答えが出せますね。大変参考になりました。

回答No.1

noname#5277

これ、微分じゃなくて極限ですよ。
極限は勉強されましたか？
たまに、極限飛ばして微分だけ教える高校もあると聞きます。

さて、ヒントだけ。
(1)は分母分子を約分しましょう。
それで終了します。

(2)は、∞/∞の不定形になるので、
これをどうにかしなくてはなりません。
テクニックといえばテクニックですが、
分母分子とも1次式ですから、
分母分子をｘで割ります。
すると、分母分子とも定数に収束すると思います。

以上、参考になれば。

お礼

お返事どうもありがとうございます！！

あぁこれは極限でしたね。すみませんです・・・。

すみませんもうちょっと聞いていいでしょうか？
（1）は分母分子をxで約分すると、
lim[x→0](x+1)/(x-1) なると思うのですがその先がわかりません・・・。