- 締切済み
微分 lim の計算
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
みんなの回答
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
lim[t→0] f(a+t) = lim[x→a] f(x) は、 両辺の収束性が一致し、収束する場合には極限の値も一致する という意味で成立します。その意味で t→0 を x→a に変換して いいのですが、lim[x-a→0] f(x) という書きかたは普通しないし、 何を意味する式なのか判りません。lim[x-a→0] f(x) の定義は？
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
- ベストアンサー率21% (283/1290)
言い換えをすればいいのです。 x-aをどんどん0に近づけるということは、xをどんどんaに近づけることと同じですよね？
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんばんわ。 一つ「クッション」となるものを置いてみてはいかがかと。 x-a＝ tとおくと、「x-a → 0」は「t→ 0」と書き換えられます。 そして、x＝ t+aですから、f(x)は f(t+a)と書き換えられます。 xを変数として扱っているのであれば、 同様に変数で置き換えをした方がよいと思います。 結果として、質問のとおりと言えるとは思いますが。
関連するQ&A
- ＜微分(数3）＞lim・・・ の値を求める
「f(x)は微分可能な関数で、f(-x)＝f(x)＋2x、f'(1)＝１、f(1）＝０を満たす。 (1)f'(-1)の値を求めよ。 (2) f(x)＋f(-ｘ）-2 lim ＝――――――――――の値を求めよ ｘ→１ ｘ－１ という問題です。 (1)は f'(-1)＝-3と出たのですが、 (2)が解答の意味がよくわかりません。 F(x)＝f(x)＋f(-ｘ）-2とおいたあと F(1)＝０が示してあり、 F'(x)＝f'(x)－f'(-x)となってlimの式が F(x)－F(1) lim ＝――――――― と変えられて ｘ→１ ｘ－１ その後答えが４と出ています。 これは微分の定義にもっていきたいがために このような操作をしているのでしょうか？ 教えていただけると幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分可能
ｙ＝f(x)=（ｘ＾２）*sin(1/x) {x=0でないとき} =0 {x=0} (1)ｘ＝０で連続であるか？ (2)ｘ＝０で微分可能か？考察せよ という問題で (1)はlim｛ｘ→０｝ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＝０なので連続？ だと思ったんですがこれを超丁寧に説明するとどうなりますか？ (2)は微分可能の定義 ｆ’（a）=lim{x→a}f(x)-f(a)/x-a が存在するときｘ＝aで微分可能であると言える ってのはわかるんですが これをどう使えばいいのか そもそも存在するかどうかってどうやって示すんですか？ この問題についても超丁寧に説明するとどうなりますかね？ （超丁寧というのはまったく突っ込みようがないぐらいということです）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分 可能 について
微分係数の定義は、 (1)f´(a)=lim[h→0]（f(a+h)-f(a)）/h これを変形すると、 lim[h→0]（f(a+h)-f(a)）=lim[h→0]h・f´(a) よって、lim[h→0]f(a+h)=f(a)となります。 x=a+hとすれば、 (2)lim[x→a]f(x)=f(a) となります。 lim[x→a]f(x)=f(a)はf(x)にaを代入している事と同じになると 思います。 ここで、問題です。 f(x)=|x|のx=0について微分可能で無い事を示す場合、 (1)式で解くと、 右極限 lim[h→+0]（|0+h|-|0|）/h＝lim[h→+0]|h|/h=1 左極限 lim[h→-0]（|0+h|-|0|）/h h=-tと置くと、t→+0となる。 lim[t→+0]（|0-t|-|0|）/-t=lim[t→+0]|t|/-t=-1 となり、lim[h→+0]（|0+h|-|0|）/h≠lim[h→-0]（|0+h|-|0|）/h なのでf(x)=|x|はx=0について微分可能でない。 (2)式で解くと、 右極限 lim[x→+0]|x|=0 左極限 lim[x→-0]|x|=0 x=-tと置くと、t→+0となる。 lim[t→+0]|-t|=0 よって、lim[x→+0]|x|=lim[x→-0]|x|となり微分可能であると成ってしまいます。 (1)式=(2)式なのに、解が異なってしまうのは何故でしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学3 極限値の計算
極限値の計算をするときに、 lim(x → a){f(x)+g(x)} = lim(x → a) f(x) + lim(x → a) g(x) といったように、原理的には、多項式を単項式に分解してそれぞれにlimを分配したような形にして計算しますよね。 そのときに、lim(x → ∞) {√(x^2+3) - x } のような問題の、ルートの中身を計算出来るのはなぜですか。 もちろん、直感的には自然なことだとは思うのですが、教科書にあるような極限値の性質に従って各項にlimを分配しようと考えたらよくわからなくなりました。 また、極限値の計算というのは、普段は途中経過を省略して計算しますが、原理的にはどこまで分解して計算しているのでしょうか。 lim(x → a) 1/x^2 でしたら、 lim(x → a) 1/x^2 = lim(x → a) 1 / { lim(x → a) x * lim(x → a) x } まで分解して計算していることになっているのでしょうか。 わかってないことだらけですが、よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分の計算がわかりません
(1)lim[x→0](x^2 + x)/(x^2 - x) (2)lim[x→∞](x+1)/(x-1) 基本的な微分計算は習ったつもりですが、これって基本問題でしょうか？なんかテクニックのにおいがぷんぷんするんですが・・・。みなさんよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
ご回答ありがとうございます。 >> x-a＝ tとおくと、「x-a → 0」は「t→ 0」と書き換え これは分かりましたが x → a の書き換えが、まだ理解できません。