＜微分(数3）＞lim・・・ の値を求める

質問

「f(x)は微分可能な関数で、f(-x)＝f(x)＋2x、f'(1)＝１、f(1）＝０を満たす。
(1)f'(-1)の値を求めよ。
(2)　　　　　f(x)＋f(-ｘ）-2
　　lim　＝――――――――――の値を求めよ
　ｘ→１　　　　ｘ－１

という問題です。
(1)は　f'(-1)＝-3と出たのですが、

(2)が解答の意味がよくわかりません。
F(x)＝f(x)＋f(-ｘ）-2とおいたあと
F(1)＝０が示してあり、
F'(x)＝f'(x)－f'(-x)となってlimの式が

　　　　　　F(x)－F(1)
　　lim　＝―――――――　と変えられて
　ｘ→１　　　　ｘ－１

その後答えが４と出ています。

これは微分の定義にもっていきたいがために
このような操作をしているのでしょうか？

教えていただけると幸いです。

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

(2)　　　　　f(x)＋f(-ｘ）-2
　　lim　＝――――――――――の値を求めよ
　ｘ→１　　　　ｘ－１

こう書いてあったら、まずは分母・分子のｘに1を代入してみると思います。この場合、
f(1)＋f(-1）-2 = 0
となるので、この極限は0/0の不定形です。

説明のため、分子をyとおきます。
y = f(x)＋f(-ｘ）-2

ここで、ｘが1から変化して1＋Δｘになったと考えると、yも0から変化して0+Δy になります。すると、上の分数式はつぎのようになります。
y/(ｘ-1) ＝ Δy/Δx

ここで、Δx→0　としたものが求める極限値ですが、これは、まさに(ｘ=1において）yをxで微分する操作であることがわかると思います。

ご質問の解答ではＦ(1)＝0があとから示されているためにテクニック風に見えますが、じつは微分に持っていったのは式の形からみて、自然な流れです。

補足

回答ありがとうございます

>ここで、ｘが1から変化して1＋Δｘになったと考える
>と、yも0から変化して0+Δy になります。すると、上
>の分数式はつぎのようになります。
>y/(ｘ-1) ＝ Δy/Δx
>
>ここで、Δx→0　としたものが求める極限値ですが、
>これは、まさに(ｘ=1において）yをxで微分する操作
>であることがわかると思います

この部分をもう少し解説していただけると助かります
宜しくお願いします

回答No.3

pyon1956

ところで(1)は
f(-1)=f(1)+2*1=2ではないかと思うのですが。

さて、x-1=h　とおくと、
（分子）＝f(1+h)+f{-(1+h)}-2=f(1+h)+f(1+h)+2(1+h)-2
=2f(1+h)+2h とやったほうがすっきりするようにも思うのですが、まあf'(1)を使うための工夫でしかないのでおなじことでしょうね。
正直にいって本質をついた良問というよりただのパズル問題なんであまり気にしなくてもいいと思いますが。

回答No.2

Tacosan

f(-x) = f(x) + 2x だから
f(x) + f(-x) - 2 = 2f(x) + 2x - 2 なので
lim(x→1) [f(x) + f(-x) - 2]/(x-1) = 2lim(x→1) f(x)/(x-1) + 2 = 2f'(1) + 2 = 4
の方が素直かも.