「微分可能性を調べよ」という問題です

質問

f(x)=0 (x<=0)
e^(-1/X) (X>0)
の微分可能性を調べる問題なんですが、答えが「全ての点で微分可能」となってます。

lim(h→0) {f(h)-f(0)}/(h-0)
=lim(h→0) e^(-1/h)/h
=lim(h→0) 1/{e^(1/h)・h}
とやってみたんですが。どうすればいいですか？

回答No.4

koko_u_

>No.2とは証明方法が違うのですか？

証明が端折られているということです。

補足

端折られている？

回答No.3

koko_u_

>>>もっと微分可能性の定義について考えるべきです。
>根本的に違うという意味ですか？

その通りです。
lim_{h->0} が「どのように h が 0 に近づくか」問わないことに「微分可能」の意味があるのです。

補足

h→+0,h→-0ということですか？
No.2とは証明方法が違うのですか？

回答No.2

proto

lim[h→0]{exp(-1/h)/h} = lim[h→0]{(1/h)*exp(-1/h)}
ここで、1/h=tと置いて式を書き換えると
　　lim[h→0]{(1/h)*exp(-1/h)} = lim[t→∞]{t*exp(-t)}
ここで
　　lim[t→∞]{t*exp(-t)} = 0
となる事がわかる？わからない？

わかれば、問題は解決。
　　lim[x→+0]{f(x)} = lim[x→-0]{f(x)}
　　lim[x→+0]{f'(x)} = lim[x→-0]{f'(x)}
の証明ができるから。
f(x)はx=0で連続で微分可能。

わからなければ、類似の問題として
　　lim[t→∞]{exp(t)/t} = ∞
を理解する事が助けになるでしょう。
　　exp(t) = 1 +t +(t^2)/2 +(t^3)/6 +…
と展開できるから、t>0のとき
　　exp(t) > 1 +t +(t^2)/2
よって
　　exp(t)/t > (1/t) +1 +t/2 → ∞ [t→∞]

お礼

ありがとうございます。
まだ理解してませんがこれ以上回答が来ないようなので一度締め切って
後日また質問します。

補足

＞lim[x→+0]{f(x)} = lim[x→-0]{f(x)}
＞lim[x→+0]{f'(x)} = lim[x→-0]{f'(x)}
の証明はなぜするのですか？
前式とどういうふうにつながるのでしょうか？

回答No.1

koko_u_

もっと微分可能性の定義について考えるべきです。
そうすれば一行目から二行目でどのような間違いをおかしているか気付くでしょう。

補足

二行目に｛｝を入れないと式が違ってしまいました。
lim(h→0) ｛e^(-1/h)｝/h
やはりまだ違いますか？
>>もっと微分可能性の定義について考えるべきです。
根本的に違うという意味ですか？