微分可能性について

質問

微分可能な関数ｆ（ｘ）がｆ‘（ｘ）＝｜e^x-1｜を満たし、ｆ（１）＝eであるとき、ｆ（ｘ）を求めよ。

ｘ≧０のとき、(ｘは全ての実数について微分可能なので、こうしました)
f`(x)=e^x-1よって、ｆ（ｘ）＝∫（e^x-1）ｄｘ＝e^x-x+C
f(1)=eより、e=e-1+Cよって、C=1。ｆ（ｘ）＝e^x-x+1
ｘ≦０のとき、ｆ‘（ｘ）＝-e^x+1
f(x)=∫（-e^x+1）＝-e^x+X+D
f(x)はｘ＝０で微分可能だから、ｘ＝０で連続であり、
lim(x→＋０）（e^x-x+1)=2=f(0)
lim(x→ー０）（－e^x+x+D)=-1+D=2よって、D=３
よって、ｆ（ｘ）＝e^x-x+1（ｘ≧０）、-e^x+X+３（ｘ≦０）
という答案を書きました。
一方、問題集の答えでは、ｘ＝０では導関数は定義されないことからｘ＞０、ｘ＜０と場合分けしています。
しかし、全ての実数で微分可能な事がわかっている以上、ｘ≧０、ｘ≦０と場合分けしてはいけないのでしょうか？

回答No.3

rabbit_cat · ベストアンサー

x=0ではどちらでも同じ値ですから、x≦0と、x≧0で重なっていても全く問題ないですよ。
少なくとも、大学入試ならそれで減点されることはありえないです。
（高校の数学のテストだと、わけわからんアホな数学教師が全くいないとは言い切れないのかもしれませんが。。）

別に、場合分けで重なってはいけないなんてルールは無いです。とにかく定義に矛盾がない（数学用語ではwell-definedと言います）ように、場合分けができていれば良いです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

厳密にいうと
「ｘ≧０、ｘ≦０と場合分け」
すると
x=0 のときはどっち?
って突っ込まれるだろうね.

「どっちでも同じ答えになる」というかもしれんけど, そこはやっぱり気を付けるべきだと思う.

補足

ｘ≧０、ｘ＜０と場合分けした答案はどうなのでしょうか？

回答No.1

rabbit_cat

＞全ての実数で微分可能な事がわかっている以上、ｘ≧０、ｘ≦０と場合分けしてはいけないのでしょうか？
良いです。全く問題ないです。

＞問題集の答えでは、ｘ＝０では導関数は定義されないことから
たとえ、ｘ＝０での導関数も定義されなくても、質問者の場合分けでまったく問題ないです。（x=0でf(x)が連続になればよい。）
ただ、この問題の場合は、そもそも、f'(0)=0とちゃんと定義できてますよね。。よくわからん。