前回質問したものです。

質問

「軌跡」
http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=551220
で質問させていただきました。
それで、早まって締め切ってしまったのですが、問題が自分の中で消化されていないのです。
fushigichanさんにご回答いただきましたが、計算間違いがありまして、しかしそれを訂正しても答えにならないのです。

皆様にご迷惑かとは思いますが、もう一度その問題にお答え願えませんでしょうか？

A(2、0),B(-2、0),P(p、q）(q＞0）
点Pが∠APB＝60°を満たして動くとき三角形APBの重心Gの軌跡を求める問題です。

回答No.6

oshiete_goo · ベストアンサー

＃４の補足の補足（蛇足）です．

「∠BPA＝＋60°を複素数平面で考える」
これがPの軌跡を決定する（必要十分）条件であることはよいでしょうか．

もしも
求めた円上のｙ＜０の部分にPが来れば∠BPA＝－120°
ｙ＝０上では∠BPAは定義されず，∠BPA＝＋60°の条件は満たされない．

また，初等幾何で「Pが∠APB＝60°を満たして動くとき」というと，ｙ＞０だけでなく，その図形をｘ軸について対称移動した円(の一部)も点Pは描きます．(q＞0の条件がないと）

しかし，この場合でも，複素数平面だと，点Pがｙ＜０の部分にあると符号が逆で，∠BPA＝－60°になり，やはり「∠BPA＝＋60°」の条件からは排除され，求めるPの軌跡に余計な解は入りませんし，足りない部分もありません．
それが式の上で明示的に保証される(q＞０の形で現れる)のが，（整理していって）虚部が正の条件というわけです．

（本当は最初の式
BPA＝arg{2－(p＋qi)}／{－2－(p＋qi)}＝＋60°
にすべて含意されている ．）

ONEONEさんのご質問や応答の姿勢には共感できるところがありますが，少しだけ締め切りの気が早い感じもします．
（逆の意味で疑問符のつく質問者さんもいることからすれば立派なのですが．）
自分なりに少し考えてみて，不明な点は補足などの形でさらに質問してみると，より有効な勉強ができるのではないでしょうか．
回答した方々も，悪意は無くとも細かいミスや思い違いがあったりして，訂正の機会を失ってしまうことにもなりますので，すぐに解決がつかないときは別としても，もうワンテンポ待って質疑応答をして，ある程度納得してから締め切ってもよろしいのではないでしょうか．

ただし＃１の間違い等は全て筆者個人の責任で弁解の余地はありません．混乱させてすみませんでした．

お礼

長々とご解説いただきありがとうございました。
確かに、今回の件では自分の早とちりが原因でこのようなことになってしまったのは、反省すべき点です。
以後気をつけます。
いろいろとご指摘いただきまして感謝してます。

そして、やっぱしOKWEB（教えてgoo！）はいい！
と改めて思いました。

回答No.7

fushigichan

ONEONEさん、おはようございます！
一晩寝て、起きて、やっぱり計算間違いしてたなあと気づきました。

角APB=６０°になるためには、一番分かりやすいので、
三角形ABPが正三角形のときですよね。
とすると、角PAB=角PBA=角APB=６０度のときを考えると
辺の比は、１：１：１だから、｜AO|=2だから
PA=4になるはず、このとき｜PO|=２√３になるはず。
だから半径が間違っているなあ・・と思ったのです。

1/2√{(p+2)^2+q^2}√{(p-2)^2+q^2}=(p+2)(p-2)+q^2
これを展開していく途中で計算ミズがあった模様です。
{(p+2)^2+q^2}{(p-2)^2+q^2}=4{(p^2-4)-q^2}^2
展開して右辺にまとめれば
3p^4+6p^2q^2-24p^2+3q^4-40q^2+48=0・・・（★）
あとは、＃２さんが訂正してくださったように
式変形していけば
p^2+q^2-4√3q/3=4
p^2+(q-2√3/3)^2=4-4/3=16/3=(4√3/3)^2・・・（☆）
中心(0,2√3/3)半径4√3/3の円周の、q>0の部分、となります。

重心の座標の軌跡は
p/3=X,q/3=Yとおいて、（☆）に代入すれば求められます。
x^2+(y-2√3/9)^2=(4√3/3)^2のy>0の部分・・・（答え）

計算間違いをしてしまい、大変申し訳ありません。
三角形ABPが正三角形になるときを想像して、
そのときの点P(0,2√3)から、円の中心を想像すれば
点Pの軌跡の円の中心は(0,2√3/3)になりそうだ・・・ということが予想できると思います。

お礼

なんどもすいませんでした。
そしてありがとうございます。
こちらの計算力不足でした。ご迷惑おかけしました。
また何か質問することがあるとは思いますがそのときはどうぞよろしくお願いします。

回答No.5

oshiete_goo

＃４の補足です．
＞q＞0の条件は後で考えるとして，円の式を導きます．

こう書きましたが，符号つきの角∠BPA＝＋60°を複素数平面で考えたので，実はこの条件も取り込まれていて(虚部が正の条件で保証される)，必要十分になっており，改めて後でつける必要はありませんでした．

回答No.4

oshiete_goo

再び＃１です．
現実的には，図形的考察に比べると次善の策だと思いますが，計算で出すことも可能です．

複素数平面で考えます．
A(2)，B(-2)，P(p＋qi）(q＞0）
q＞0の条件は後で考えるとして，円の式を導きます．

符号つきの角の意味で∠BPA＝＋60°であり，
∠BPA＝arg{2－(p＋qi)}／{－2－(p＋qi)}＝＋60°
⇔arg{(p＋qi)－2}／{(p＋qi)＋2}＝＋60°
⇔{(p＋qi)－2}／{(p＋qi)＋2}＝ｒ(1＋√3)／２　[rは正の数]
⇔{(p－2)＋qi}／{(p＋2)＋qi}＝ｒ(1＋√3)／２　
分母の有理化のために，分母分子に{(p＋2)－qi}を掛けて
整理すると，
(左辺の分子)＝(p^2+q^2－４)＋4qi
(左辺の分母)＝(p＋2)^2＋q^2

すると，「実部：虚部＝１；√3　かつ　実部と虚部が正」が求める条件で
前半から
p^2+q^2－４＝4q／√3・・・（２）
p^2+q^2－4q／√3＝４
p^2+(q－2／√3)^2＝４＋(2／√3)^2＝16／3

つまり，点Pは
円ｘ^2+(ｙ－2√3／3)^2＝16／3　（ただしｙ＞０の部分）
を描く．
なお，先の「実部が正」は（２）かつ　虚部正⇔q>0　より（自動的に）満たすことが保証される．

以下は省略します．

[訂正]
＃１の式
円ｘ^2＋(ｙ－2√3／3)^2＝16／3　のｙ＞０の部分・・・（１）

重心Ｇは
円ｘ^2＋(ｙ－2√3／9)^2＝16／27　のｙ＞０の部分
を描く．

になるようです．

お礼

複素数平面でも出すことができるのですね。
柔軟な考え方を覚えていこうと思います。
今回は本当にありがとうございました。

回答No.3

noname#24477

＞3p^4-24p^2+6p^2q^2+3q^4-24q^2+48=0
＞3(p^2+q^2-4)^2=0

前回のfushigiさんの回答を利用させてもらうと
次のように訂正しておけば良いですね。

3p^4-24p^2+6p^2q^2+3q^4-４０q^2+48=0
3(p^2+q^2-4)^2=１６ｑ＾２

ここでp^2+q^2-4>0,また条件よりq>0　でしたから
±なしでルートがはずせます。

p^2+q^2-4=4q/√３

後は円の方程式に持ち込むだけで
p^2+(q-2/√3)^2＝(4/√3)^2

＃１さんの式と中心が違いますが、＃１さんが
勘違い？されているのだろうと思います。

最終的にはx=p/3,y=q/3より
p=3x,q=3yを代入して整理します。

x^2+(y-2/3√3)^2=(4/3√3)^2

お礼

どうもありがとうございます。
計算力がどうも足らないようで、伸ばさねばと思いました。
本当にどうもありがとうございました。

回答No.2

oshiete_goo

＃１です．
前のご質問を見ていなかったので，主旨をよく理解せずに回答してしまい，失礼いたしました．計算による解法を求めているのですね．

ただし，質問No.551220の＃１の方も述べてらっしゃるように，図形的にいくのが順当で，素朴に計算するのはかなりつらいかも知れません．

回答No.1

oshiete_goo

Ｐはｙ＞０の部分にある．

∠ＡＰＢ＝６０°で一定の角を保ちつつ，許される全ての点を動くので，円周角の定理の逆により
点Ｐは３点Ａ，Ｂ，Ｃ(０，2√3)を通る円のｙ＞０の部分を描く，
三角形ＡＢＣは１辺４の正三角形であることに注意すると，円の半径は(4√3)／3であり，

点Ｐの軌跡は
円ｘ^2＋(ｙ－√3)^2＝16／3　のｙ＞０の部分・・・（１）

すると，求める重心Ｇ(ｘ,ｙ)＝（(2＋(-2)+p)／3，(0＋0＋q)／3）＝（p/3，q/3）
より，→OG＝(1／3)→OP　つまり　p＝3X，q＝3y　をP(p,q)の満たす方程式（１）に代入するか，点Gは点Pの描く図形に対して原点を相似の中心とする，相似比1/3の図形を描く．

したがって，重心Ｇは
円ｘ^2＋(ｙ－√3／3)^2＝16／27　のｙ＞０の部分
を描く．

[注意点]
中心（0，√3）→（0，√3／3）
半径は1／3倍で２乗すると右辺r^2は1／9倍になる

おかしい点は補足下さい．