三角形と、点の存在範囲についての質問です！

質問

1辺の長さaの正三角形ABCの重心をGとする。△ABCの内部の点Pで、Pから△ABCの各辺に下ろした垂線の長さが、PとGの距離PGよりも短くないような点Pの存在範囲の面積Sを求めよ。
という問題が解けなくて困ってます。重心を通り、辺に接する円の中心の軌跡を考えるのかな…とか思ったのですが、解けません…。今高３なのですが、IIBの範囲の問題です。
よろしくお願いします。

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

>重心を通り、辺に接する円の中心の軌跡を考える

基本的にはあっていると思います。一辺の長さがaなら重心の高さは

a√3/6

(0,a√3/6)までの距離とx軸からの距離(点Pのｙ座標)が等しいところですから
(頂点の座標を(0,a√3/2となるように正三角形を置いてます）

y=√{x^2+(y-a√3/6)^2}

辺辺を２乗して

y^2=x^2+y^2-ay√3/3+a/12
y=x^2√3/a+√3/12

放物線ですね。これとy軸、y=-3/√3 *x+a√3/6に囲まれる部分の面積を
求めて6倍すればよいと思います。計算は確認してください。

お礼

ありがとうございます。
とても簡潔で、大変わかりやすかったです。
きちんと復習して勉強したいとおもいます。
ありがとうございました！

回答No.4

tecchan22

もし理系なら、数Ｃ の二次曲線を習っていますよね。

その前提で話をすると、
重心Ｇと例えば辺ＢＣとの距離が等しい点の集まりは、
Ｇを焦点、ＢＣを準線とする放物線ですよね。
求める範囲は、その放物線で分けられる二つの領域のうち、「上」の方（というか、焦点Ｇを含む方）になければなりませんよね。

同様にＧを焦点，ＣＡを準線とする放物線、Ｇを焦点，ＡＢを準線とする放物線を書き（最初の放物線を、Ｇの回りに１２０°，２４０°回転した放物線になりますよね）、三つの放物線で囲まれた部分が、求める範囲になるわけです。

さて、この放物線同士の交点は、対称性から、ＧＡ，ＧＢ，ＧＣ上に来ますよね。

ですから、△ＧＢＣ内の、最初の放物線で分けられるＧを含む部分・・※　の面積を求め、三倍すれば良い訳です。

あとは座標でおいて計算すれば良いですが、座標でおかなくても、うまく計算すれば※の部分は△ＧＢＣの５／２７倍の面積と分かるので、
求める面積は、△ＡＢＣ×（５／２７）＝５a^2／３６√３
と分かります。

※因みに、ＡＢとＢＣから等距離にある点の集まりは、∠Ｂの二等分線になるわけで、夫々の角の二等分線ＡＧ，ＢＧ，ＣＧを引くと、それで分割された例えば△ＧＢＣの範囲の点は、三辺のうちＢＣに一番近い訳です。
ですから、△ＧＢＣの範囲の点Ｐに関しては、ＧＰ≦（ＰとＢＣとの距離）が必要十分条件になるわけです。
（同様に△ＧＡＢの内部の点Ｐに関してはＧＰ≦（ＰとＡＢとの距離），△ＧＣＡの範囲ではＧＰ≦（ＰとＣＡとの距離）を考えれば良い訳です）
最初にそれを述べておいて、△ＧＢＣ内で考え、三倍しても良いですね。
IIＢの範囲でやるならこっちかな。

お礼

ありがとうございます！恥ずかしながら、理系です…。
放物線の定義そのものでだったんですね！
回答がわかりやすく、全然思い至らなかったことだったので、
とっても勉強になりました。
本当にありがとうございました。

回答No.2

take_5

いつもの事ながら、書込みミスを発見。。。。。(^^♪

＞以上から、｜α√3+β-a√3｜/2≧√{（α）＾2＋（β-a/√3）＾2}、｜α√3+β-a√3｜/2≧β、｜-α√3+β-a√3｜/2≧√{（α）＾2＋（β-a/√3）＾2}の3つの領域の共通範囲を求めると良い。

　　　　　　　　　　　　↓

以上から、｜α√3+β-a√3｜/2≧√{（α）＾2＋（β-a/√3）＾2}、β≧√{（α）＾2＋（β-a/√3）＾2}、、｜-α√3+β-a√3｜/2≧√{（α）＾2＋（β-a/√3）＾2}の3つの領域の共通範囲を求めると良い。

同値性に注意して、2乗するとＯＫ。

回答No.1

take_5

計算が面倒なので、正三角形の1辺の長さを2aとしますから、後から修正してください。

座標平面上で、Ａ（0、a√3）、Ｂ（-a、0）、Ｃ（a、0）とする。
重心はＧ（0、a/√3）。Ｐ（α、β）但し、a√3＞β＞0、-a＜α＜aとする。
距離ＰＧは、√{（α）＾2＋（β-a/√3）＾2}。
Pから△ABCのＡＢ、ＢＣ、ＣＡに下ろした垂線の足を各々Ｄ、Ｅ、Ｆとすると、ヘッセの公式を使うと、ＰＤ＝｜α√3+β-a√3｜/2、ＰＥ＝β、ＰＦ＝｜-α√3+β-a√3｜/2となる。
以上から、｜α√3+β-a√3｜/2≧√{（α）＾2＋（β-a/√3）＾2}、｜α√3+β-a√3｜/2≧β、｜-α√3+β-a√3｜/2≧√{（α）＾2＋（β-a/√3）＾2}の3つの領域の共通範囲を求めると良い。

但し、Ｐ（α、β）が正三角形の内部から、結局は、ＰＤ＝（-α√3-β＋a√3）/2、ＰＦ＝（α√3-β＋a√3）/2である。

以降の計算は自分でやってください。但し、計算はチェックしてね。。。。。笑い

お礼

迅速な回答ありがとうございます。
とても困っていたので、うれしかったです。
色々な解法があるのだとわかりました！
ありがとうございました。