行列のトレース・行列式に似た演算

質問

行列の特性多項式を調べていたら、トレース・行列式を一般化したような演算に出会いました。

二次正方行列Aの特性多項式は
x^2 - tr(A)x + det(A)
です。
そして三次正方行列Aでは
x^3 - tr(A)x^2 + (a11a22-a12a21 + a22a33-a23a32 + a11a33-a13a31)x - det(A)
と表されます。

ここで、この式のxの係数は、
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
この元の行列で、主対角線に沿った2x2行列の行列式の総和になっています。つまり、

a11 a12 ○
a21 a22 ○
○　○　○

a11 ○　a13
○　○　○
a31 ○　a33

○　○　○
○　a22 a23
○　a32 a33

この部分の行列式の総和となっています。

この場合は2x2行列を取り出しましたが、1x1行列を取り出すとトレースに、3x3行列を取り出すと行列式になります。
そこで、このnxn行列を取り出す操作を勝手にtr_nと呼ぶと、
x^3 - tr_1x^2 + tr_2x - tr_3
とかなり美しい形で特性多項式が書けます。

このtr_nについて、
正式な名前は何と言うんでしょうか？
また、行列式は体積要素として幾何学的な意味を持ちますが、この演算は幾何学的にはどのような意味を持つのでしょうか？
知っている方いらっしゃいましたら、解答お願いします！

回答No.1

my3027 · ベストアンサー

自分でこれに気がつくなんて凄いですね！

私はこれを非線形弾性力学で習いました。まず以下が名前です。
I1=tr(A)
I2=(AkkAll-AklCkl) /2(指標表示ですがtr_nと同じです)
I3=det(A)
以上の3つを不変数(invariant)と呼びます。ですので回答は2次不変数ですね。

この演算は、ある座標系を基準に物体が移動した時の座標変換をへてもあるテンソルの上記の不変量は変わりません(固有値問題)。
x^3 - tr_1x^2 + tr_2x - tr_3=0はテンソルの固有値を解く為の特性方程式になります。あとは歪エネルギを表すのにW(I1,I2,I3)として表したりします。詳細は非線形弾性力学の本を参照下さい。

お礼

ありがとうございます！
なるほど、不変量だったんですか・・やっぱりトレースや行列式と同じくらい重要な量だったんですね。
弾性力学は、剛体に力を加えたときの応力の分布の図を何かで見たことがあります。これの応用に興味があったので、今度調べてみようと思います。