複素数の問題

質問

複素数の勉強をしていて、「a(≠0),bが複素数のとき、a^bの値がすべて実数となる条件を求めよ。」という問題があったのですが、どのように解くのかがわかりません。
　解答には、「Im(b*log(a))=kπ（kは整数）より、求める条件は、Reb=m/2, (Imb)Log|a|+(Reb)Arga=nπ　（m,nは整数、Argaはaの偏角の主値）と書いてあったのですがどうしてこのようになるのかがわかりません。
　分かる方詳しく教えてください。

回答No.2

noname#101087 · ベストアンサー

>解答には、「Im(b*log(a))=kπ（kは整数）より、求める条件は、Reb=m/2, (Imb)Log|a|+(Reb)Arga=Logπ　（m,Logは整数、Argaはaの偏角の主値）と書いてあった .......

まず、
　a^b = e^{b*log(a)} = e^[b*{(log|a| + i*arg(a)}]
と変形できそう。
また [b*{(log|a| + i*arg(a)}] の虚部は、Im(b)*log|a| + Re(b)*arg(a)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
a^b が実数となるのは、これが kπ(kは整数）のとき。

ご質問の範囲では、これで行き止まりみたい…。

お礼

回答ありがとうございました。非常に参考になりました。

回答No.1

koko_u_u

a^b の定義を補足に。

そして、「値がすべて実数となる」の意味も補足にどうぞ。

補足

問題は質問の欄に書いた通りなのでa^bの定義は得にされていないと思います。