極限の問題?!

質問

問１　lim 1/nΣk/n^2+k^2
　　　　　 　↑
　　　　　　Σは　k=1からnまで

問２　lim {1/n+2 + 1/n+4 + 1/n+6 +.....+1/n+2n｝

　出来るだけ詳しくおしえてください(´；д；`)

回答No.1

proto

どこからどこまでが分子でどこからどこまでが分母だか…
もう少し括弧をたくさん使って書いてください。
読み方が複数通りあります。

今回は、
　　lim[n→∞]{(1/n)*Σ[k=1～n]{k/(n^2+k^2)}}
　　lim[n→∞]{1/(n+2)+1/(n+4)+1/(n+6)+...+1/(n+2n)}
でよいでしょうか？
おそらくは区分求積法の問題です。
そして問1は
　　lim[n→∞]{Σ[k=1～n]{k/(n^2+k^2)}}
でなければ計算できないように思います。

区分求積法の基本を確認してください。
　　lim[n→∞]{ (1/n)*Σ[k=1～n]{f(k/n)} } = ∫[0～1]{f(x)}dx
または
　　lim[n→∞]{ (1/n)*Σ[k=0～n-1]{f(k/n)} } = ∫[0～1]{f(x)}dx
です。
他にもいくつかパターンがありますが、これが基本の基本です。

これを使うと、
　　k/(n^2+k^2) = (1/n)*{(k/n)/(1+(k/n)^2)}
より、f(x)=x/(1+x^2)と考えれば、区分求積法より
　　lim[n→∞]{Σ[k=1～n]{k/(n^2+k^2)}} = lim[n→∞]{(1/n)Σ[k=1～n]{(k/n)/(1+(k/n)^2)}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= ∫[0～1]{x/(1+x^2)dx}
と変形できます。
あとはx^2=tとでも置いて置換積分すればよいでしょう。

問2についても
　　1/(n+2)+1/(n+4)+1/(n+6)+...+1/(n+2n) = Σ[k=1～n]{1/(n+2k)}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = (1/n)*Σ[k=1～n]{1/(1+2(k/n))}
よりf(x)= 1/(1+2x)と考えれば、区分求積法より
　　lim[n→∞]{1/(n+2)+1/(n+4)+1/(n+6)+...+1/(n+2n)} = lim[n→∞]{(1/n)*Σ[k=1～n]{1/(1+2(k/n))}}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = ∫[0～1]{1/(1+2x)}dx
と変形できます。