積分の問題です。順を追って説明をお願いします。

質問

閲覧ありがとうございます。

自分なりに、部分積分や置換積分などやってみましたが出来ませんでした。

∫((2 - x)/(x^2 - x + 1))dx

です。

よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

部分分数展開と置換積分を組合わせればできると思います。
I=∫(2-x)/(x^2-x+1)dx
=∫{(3/2)-(2x-1)/2}/(x^2-x+1)dx
=(3/2)∫1/(x^2-x+1)dt-(1/2)∫(2x-1)/(x^2-x+1)dx
=I1-I2 …(1)
I2=(1/2)∫(2x-1)/(x^2-x+1)dx=(1/2)ln(x^2-x+1)+C1
(■ x^2-x+1=(x-(1/2))^2+3/4>0であることに注意）
I1=(3/2)∫1/(x^2-x+1)dt
=(3/2)∫1/{(x-(1/2))^2+(3/4)}
=2∫1/[{(2x-1)/√3}^2+1] dx
t=(2x-1)/√3と置換、dx=dt(√3)/2
I1=(√3)∫{1/(1+t^2)}dt=(√3)arctan(t)+C2
tをxに戻してからI1,I2を(1)に代入、
改めて積分定数をCとおけば良いでしょう。

お礼

いつもわかりやすい回答ありがとうございます。

2-xから2x-1を見つけることが重要なのですね。
info22さんの適切な説明にはいつも尊敬します。

また何かあればどうかよろしくお願いします。

回答No.2

proto

まず、
　　∫{(2-x)/(x^2-x+1)}dx = ∫{(3/2+1/2-x)/(x^2-x+1)}dx
　　　　　　　　　　　　　= ∫{(3/2)/(x^2-x+1) +(1/2-x)/(x^2-x+1)}dx
　　　　　　　　　　　　　= ∫{(3/2)/(x^2-x+1)}dx + ∫{(1/2-x)/(x^2-x+1)}dx
　　　　　　　　　　　　　= (3/2)*∫{1/(x^2-x+1)}dx -(1/2)*∫{(2x-1)/(x^2-x+1)}dx
と式を分解します。
右辺の後ろの項は、
　　(2x-1)/(x^2-x+1) = (x^2-x+1)'/(x^2-x+1)
の形より
　　-(1/2)*∫{(2x-1)/(x^2-x+1)}dx = -(1/2)*log(x^2-x+1) +C
と積分できます。

続いて右辺の前の項は、分母を平方完成して
　　(3/2)*∫{1/(x^2-x+1)}dx = (3/2)*∫{1/((x-1/2)^2+(3/4))}dx
ここで、arctan(x)の微分公式から
　　((1/a)*arctan(x/a))' = 1/(x^2+a^2)
を思い出すと、今回はa^2=3/4とすればよいので。
　　(3/2)*∫{1/((x-1/2)^2+(3/4))}dx = (3/2)*(2/√3)*arctan(2x/√3) +C
　　　　　　　　　　　　　　　　　　= (√3)*arctan(2x/√3) +C

以上まとめると、
　　∫{(2-x)/(x^2-x+1)}dx = (√3)*arctan(2x/√3) -(1/2)*log(x^2-x+1) +C
となります。