微分はノイズに弱い、積分はノイズに強いとは

質問

微分はノイズに弱い、積分はノイズに強い

一体これはどういう意味なのでしょうか？

ーーーーー自分なりの解釈はーーーーーーーーーー
tを微分 　ラプラス変換→　ｓ　または フーリエ変換　jw
ｔ積分　ラプラス変換→　1/s または フーリエ変換　1/jw

となり、それらの絶対値を考えた場合、

高周波数領域では
積分のときは　絶対値が大きくなる
微分のときは　絶対値が小さくなる

そして、現実の世界ではノイズは高周波数領域に多くあるので、

ｓ　を伝達関数として使う場合、出力はノイズによる影響が激しくなるので　使い物にならない・・・
逆に1/sはノイズによる影響をあまり受けないので、使える。
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このような考えで会っているのでしょうか？
よろしくおねがいします。

回答No.1

imoriimori · ベストアンサー

基本的はそのお考えで正しいと思います。

現実の世界に照らしつつもうちょっと定性的に（式ではなくて）、私流に独断偏見注釈コメントを記すと次のような感じです。
「現実の世界ではノイズは高周波数領域に多くあるので」現実には雑音高域はちょっと低下方向が普通で、高周波に偏っていると言うことはむしろ少ないです。が、少なくとも教科書的典型は白色雑音で、とにかく雑音が低周波に局在というのは非典型ですね。
一方、通常の信号は低域に集中するのが普通。画像とかフーリエ変換したら、見えるのはほとんどｄｃ（直流）近傍だけです。
この状況では、高域は雑音ばかり。そこは要らない。積分で高域カットしてしまえばよい。
微分は隣接データ間の変化分強調だ。変化分というのは白色とか高域に偏る。微分で雑音ばかり強調だ。
これが普通の状況なので、微分はノイズに弱い、積分はノイズに強いと言われることになります。
だけれども、信号が高域に偏る場合もないとはいえない。このケースでは、積分は信号も雑音も落とす。決して雑音に強いなんてことはない。微分は雑音も強調するが信号も強調する。微分が雑音に弱いなんてことはない。
結局微分積分が雑音に強い弱いというのは信号と雑音とがどの辺の帯域にあるかという状況設定次第なんです。
極端なケースでは積分が雑音に弱いという状況もあり得ます。例としては主たる雑音がドリフトのような超低周波であり関心信号は周波数の低くない交流の場合です。この場合積分はひどい結果を出します。微分で低周波雑音をカットできます。

お礼

回答ありがとうございます。
結局、どの周波数に自分の求めている信号があるかによるんですね。
いま大学で信号処理習い始めたばかりなので、周波数の話はフーリエやらラプラスの使い道を知る上で、とても参考になります！

回答No.2

midare_oni

ノイズは時間と共にランダムに変化する信号のことですよね。
微分というのは、変化を増幅させる機能を持つのでノイズに弱いということになります。
積分は、ある時間の信号の平均値を求めるようなものなので、時間でランダムに変化するようなノイズなら、積分によりばらつきは減ります。
統計学や信号処理では、n個のデータの平均値のばらつきは元のデータのばらつきのn^0.5に減少するといわれており、これからも積分の方がノイズには強いということがわかると思います。
(この場合のノイズはホワイトノイズであることが前提ですが)

尚、現実の世界が電気回路の世界ということなら、1/fノイズというのがあるため通常は単位周波数当たりで考えると周波数が低い方がノイズの大きさは大きくなります。

お礼

回答ありがとうございます。
統計学にもノイズが関係あるんですね、、、まだまだしらなけらばならないことがたくさんありそうです。　参考になりました。