複素数だと思うのですがどなたかお願いします。

質問

z^4=i　　を解け。

この問題の解き方の解説どなたかお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

z=a+bi (a,bは実数）とおき
z^4=iに代入
(a+bi)^4=i
これを恒等式として、実部同士、虚部同士を比較して
a^4-6*(a^2)(b^2)+b^4 = 0
4(a^3)b-4a(b^3) = 1
２つの式をa,bの連立方程式として解くと以下の4組となる。
( a=-(√(2+√2))/2,b=(1-√2)(√(2+√2))/2 )
( a=(√(2+√2))/2,b=-(1-√2)√(2+√2)/2 )
( a=-(√(2-√2))/2,b=(1+√2)(√(2-√2))/2 )
( a=(√(2-√2))/2,b=-(1+√2)(√(2-√2))/2 )

したがって、
解は4個で以下の通り。
z1=-(√(2+√2))/2 + i(1-√2)(√(2+√2))/2
z2=(√(2+√2))/2 - i(1-√2)√(2+√2)/2 )
z3=-(√(2-√2))/2 + i(1+√2)(√(2-√2))/2
z4=(√(2-√2))/2 - i(1+√2)(√(2-√2))/2

なお、極座標を使ってA#2さんのように三角関数で表す方法もあります。

回答No.2

nag0720

複素平面はもう習ったのかな？

iは1を複素平面上で90°(π/2)回転したものです。
z^4=iのzは、それの1/4なので、
z=cos(π/8)+i*sin(π/8)
あとの３つは、それを90°ずつ回転したもの。

回答No.1

Tacosan

極形式