X''=(Y-CX'-BX)/A パラメータの導出

質問

X',X''はそれぞれXの一回微分，二回微分を示します。

X＝0.01，Y＝0.39
X＝0.008，Y＝0.37
X＝0.09，Y＝0.36

という値がある時，パラメータ，A,B,Cを求めたいのですが，どのように求めるのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.11

info22

>x=C1exp(α1y)+C2exp(α2y)　　・・・(1)
α1,α2が虚数になる時も同次微分方程式の解は
形式上はこの式になりますが、
xは実数なので(1)の虚数を含んだ表現は適当でないので、実数だけで表した解の式を使うべきです。
虚数を最初から含んだ式を使えば、最終的に虚数を含まない式にオイラーの公式を使って戻す必要があり、未習熟な方は混乱するだけです。
(1)の代わりに次の(1)'の式を使えば実数だけのyの式になり、以降実数だけの計算になります。

x=exp(-cx/(2a))[C1'*cos(√{4*a*b-c^2))*y/(2*a)}
+C1'*sin(√{4*a*b-c^2))*y/(2*a)}] …(1)'

>#5のx(0)=x0(初期位置),dx(0)/dy=v0(初期速度)の初期条件より

確認ですが、元の微分方程式のYに相当するy、Xに相当するxと初期値x0,
v0との関係はどうなっていますか？
以下の３つのケースのいずれですか？

(i) x(y),yは独立変数（yは時間）
　これまでの回答はこのケースで話が進んでいます。
(ii) x(t),y(t),tは時間
(iii) x(y),y(t),tは時間
　　(ii)と(iii)のケースだとy(t)を与えないと
　　非同次方程式の特解が求まらないので
　　もとの微分方程式自体が解けないことになります。

(i)のケースを前提に回答をします。

この初期条件は
>x=C1exp(α1y)+C2exp(α2y)　　・・・(1)

この式でなく
x=[exp{-cy/(2a)}]〔C1'cos[{√(4ab-c^2)}y/(2a)]+C2'sin[{√(4ab-c^2)}y/(2a)]〕
+(yb-c)/(b^2) …(1)"
に適用しないと意味がないですね。

>x0=C1+C2 ・・・(2)
>v0=-α1C1-α2C2　　・・・(3)
>(2),(3)より
>C1=v0/-α1+α2
>C1=a*v0/-i√(c^2-4*a*b)
>C2=a*v0/i√(c^2-4*a*b)
>と求めてしまいました。

以上は次のように書き換わります。

y=y0=0
x0=x(y0)=C1'-(c/b^2)
v0=dx/dy(y0)=-{c/(2a)}C1'+[{√(4ab-c^2)}/(2a)]C2'+(1/b)

C1'=x0+(c/b^2)
C2'=[v0-(1/b)+{c(x0+(c/b^2))/(2a)}]/[{√(4ab-c^2)}/(2a)}
={2av0+(2a/b)+cx0+(c/b)^2)}/√(4ab-c^2)

これを上の(1)"に代入すればいいですね。

以下は本来、虚数でない式に形式上虚数を使って表しただけ式ですから、
(1)"と同じ式です。わざわざ逆行して虚数表現式のC1,C2に戻すことは全くナンセンスです。

>X=C2*exp[-{C-i√(4AB-C^2)}Y/(2A)]+C1*exp[-{C+i√(4AB-C^2)}Y/(2A)]+(YB-C)/(B^2)
>のα1，α2とも対応していると思ったのですが…
>任意定数を(C1、C2)から(C1',C2')に置き換えたとありますが、
>それぞれC1=　C2=　と表すとどのようになるのでしょうか？
>虚数に関しての理解が浅いため、C1',C2'と結びつけた、境界条件の与え
>方で虚数計算を出なくしたいです。

上で求めたC1',C2'を(1)"に代入した式が
c^2<4abのケースにおける
元の非同次微分方程式の（虚数を含まない）解xの式になります。

補足

ありがとうございます。

(i)のケースです。
(1)"に、C1',C2'を代入してフィッティングを行ってみたところ、データによって-になってしまった場合と
すべて+で出た場合とがあったので、今後#9を参考にデータをより正確に計測してフィッティングを行っていきたいと
思います。

gnuplotのパラメータの初期値の設定ですが、式から判断できない場合、
すべて1で行ってもよいのでしょうか？
その場合、一度目のフィッティングで求められた値を初期値に用いて再度フィッティングを行うというような必要はあるのでしょうか？

ご回答よろしくお願いします。