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■y=x^2 と x=a の接点が無いことの証明■
y=x^2とx=a（aは実数）の接点（交点ではない）が無いことの証明は どのようにすべきでしょうか？ 微分すれば傾きは2xであり、x=aでの傾きが2a≠tan90°であるので、 傾きとx=aは平行でないので接しない。よって、接点は無い。 とできそうですが、微分を使わずに綺麗に証明できないものでしょうか？ 例えば、y=x^2とy=bの交点は前者に後者を代入すればすぐにx=±√b と出せますよね。そんな簡単さを求めています。 以上、変な質問ですがよろしくお願いします。
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>♯2様 二つの曲線がある点において接するというのは、その点におけるおのおの接線が互いに一致することを言います。したがって、そこに書かれているのでまったく正しいです。 >質問者様 円の接線であれば、幾何学的な考察でもできる(だから中学生向けの問題とも解釈できる)のでよいですが、放物線となるとそうはいきません。ただ、円も放物線も二次曲線ではあるので、判別式を利用した解法はありです。しかし、今の場合、陽関数表示できない直線x=aを考察しているので、この2式からyを消去することが出来ません。どうしても中学生に納得させたいのであれば、多少数学的ではなくなりますが、放物線の絵を描いて、どんな縦の直線とも接してないですよね、というしかないと思います。 そもそも接点というのは、一種の交点（ただし横断的には交わらない）であるので、二次曲線なら直感的な議論が出来ますが、前にも出された例と同じですが、たとえばy=x^3と直線y=0は原点で接している、といいます。ですのでやはり正確に、「接線が一致する」ということを利用すべきです。今の場合、相手が直線であるので、接線がその直線と一致しなければ、接点が存在しないことになりますが、放物線上の任意の点における接線は有限の傾きを持つので、それは矛盾する、という質問者様のような解答はやはり必要です。 余談ですが、放物線y=x^2と直線x=aはa=∞（普通の＋∞とか-∞とはちょっと違う意味ですが、似たようなものです）のとき接していると考えることも出来ます。ちょうど傾きが∞になっているという感じですよね。
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- velvet-rope
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回答にならないかもしれませんが・・・ 「2つの曲線が接する」の定義について確認させてください。 任意の曲線y=f(x)とy=g(x)の2つがx=aで接するとは f(a)=g(a) かつ f'(a)=g'(a)が成り立つ という定義だと理解していたのですが、正しいでしょうか。 例えば、y=x^2-4x+4とy=0がx=2で接する根拠として、2次方程式 x^2-4x+4=0 が重解をもつから(微分を必要としない)というのは、 y=x^2-4x+4とy=0がともに整関数だからではないでしょうか。 微分係数を考えなくてもいいのは、特殊なケースだからだと思います。 接するかどうかは、微分係数ありきではないのでしょうか。 ところで、No.1さんの回答で ＞ 任意のf(x)とg(x)について、接点があるということは、 ＞ 接点のx座標aと任意の数bについて ＞ ＞ f(a+b)>g(a+b) かつ f(a-b)>g(a-b) または ＞ f(a+b)<g(a+b) かつ f(a-b)<g(a-b) が成立する とあったのですが、下記の例では成り立たないのではないでしょうか。 f(x)=x^3 g(x)=2x^3 y=f(x)とy=g(x)はx=0で接しますが、 f(1)>g(1) かつ f(-1)<g(-1) となります。 私の中で、「接する」という定義が不確かなのですが、 上記の例について、いかがでしょうか。 そもそもこの場合、「x=0で接する」とは言わないのでしょうか。 と、逆に質問してしまいましたが、よろしくお願いいたします。
お礼
接する・・・以外に調べにくい定義ですね。 ＞f(a)=g(a) かつ f'(a)=g'(a)が成り立つ これで正しいとは思いますが。 x^3と2x^3は確かに交わるのに、０での傾きは等しいですね。 意外な発見です。なんだか難しくなってきました。 接するとは交わらないイメージがありましたが、それは間違い なのかもしれません。 円の場合はただ一点を”共有”する場合を接するというようです。 すみません、もっと簡単に収拾がつくと思っていました。 興味深い提起ありがとうございました。
- FEX2053
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まあ、微分の原点に立ち返って、ですね。 任意のf(x)とg(x)について、接点があるということは、 接点のx座標aと任意の数bについて f(a+b)>g(a+b) かつ f(a-b)>g(a-b) または f(a+b)<g(a+b) かつ f(a-b)<g(a-b) が成立する わけですよね。 ここで、Y=X^2とX=aについては上記が成立しない ・・・というのじゃダメですか？
お礼
最初はなんのことやらわかりませんでしたが、 図を描いてみて理解できました。接線の片側にf(x)が もう一方側にg(x)がなくてはならない、ということだと 解釈します。初めて見るやり方ですが、私には少し 難しいと感じました。ただf(x)=x^2とすると、g(x)は どうやって表せるのでしょうか？図に表すと、仰っている 証明方法がわかりますが、式で証明しようとすると つまずいてしまいます。できれば中学生くらいの知識で 理解できればと考えています。 回答ありがとうございました。
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お礼
かんたんには説明しにくいということですね。 式自体が簡単なのでもっとスパッといけると思っていました。 単純すぎる式、ここで言えばx=aのような式って苦手です。 中学生に説明というか、自分の脳みそが硬すぎると思い、 質問させてもらったのです。柔らかい頭には微分無しで、 なんとなくではなく、カチッと解けるのでは？って。 回答ありがとうございました。