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一様連続性の問題について添削をお願いします

問: x の関数 e^(-x) は正の実軸上において一様連続であることを示せ 添削していただきたいのは上の問です 解答: 任意のεに対してあるδ:=Log[1-ε] をとると |x-y|<δ,∀x,y∈[0,∞) ⇒ |f(x)-f(y)| = |e^(-x)-e^(-y)| = |(1/e^x)-(1/e^y)| = |(1/e^x)*(1-e^x/e^y)| = (1/e^x)*|1-e^(x-y)| ≦ |1-e^(x-y)| < |1-e^(Log[1-ε])| =ε 自信ないです、よろしくおねがいします。

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  • OurSQL
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回答No.1

大体の流れは良いのですが、細かいミスが何箇所と、致命的なミスが一箇所あります。 >> 任意のεに対して --> 任意の ε > 0 に対して >> あるδ:=Log[1-ε] をとると --> δ:= log ( 1 + ε ) とおくと ε > 0 ですから、δ:= log ( 1 - ε ) とおいたのでは、δ < 0 になってしまいます。 >> |x-y|<δ,∀x,y∈[0,∞) --> | x - y | < δ (∀x, ∀y ∈ ( 0, ∞ ) ) 「正の実軸上において一様連続~」といっているのですから、0 は含みません。 ここまでで、 | x - y | < δ --> | f ( x ) - f ( y ) | ≦ | 1 - e ^ ( x - y ) | がいえました。 で、いちばん問題の箇所ですが、 >> ≦ |1-e^(x-y)| >> < |1-e^(Log[1-ε])| >> =ε この部分の変形が、この証明における最大の欠陥です。 仮に、質問者さんがすべてを理解した上で書いたのだとしても、省略が多すぎます。 省略せずに書くとすれば、 | x - y | < δ より、 - δ < x - y < δ よって、 e ^ ( - δ ) < e ^ ( x - y ) < e ^ δ すなわち、 1/( 1 + ε ) < e ^ ( x - y ) < 1 + ε 各辺に - 1 をかけた後、各辺に 1 を加えると、 1 - ( 1 + ε ) < 1 - e ^ ( x - y ) < 1 - 1/( 1 + ε ) 整理して、 - ε < 1 - e ^ ( x - y ) < ε/( 1 + ε ) ε/( 1 + ε ) < ε であるから、 - ε < 1 - e ^ ( x - y ) < ε よって、 | 1 - e ^ ( x - y ) | < ε 以上で、証明は完成しました。

camember6
質問者

お礼

添削といいながら、ほとんど全部やっていただいちゃって、、、 ありがとうございます、助かりました。 ちゃんとεで抑えられてちょっと感動しました。^^ あと、0が含まれなければ | x - y | < δ --> | f ( x ) - f ( y ) | < | 1 - e ^ ( x - y ) | これは=いらないですよね

その他の回答 (1)

  • OurSQL
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回答No.2

>> あと、0が含まれなければ >> | x - y | < δ --> | f ( x ) - f ( y ) | < | 1 - e ^ ( x - y ) | >> これは=いらないですよね 回答への補足なのか、ダメ出しなのか、判断に迷ったのですが ^^; ただ、私自身もいくらか迷った部分なので、回答を追加します。 x > 0 であれば 1/e^x < 1 ですから、等号は必要ないかもしれません。 ですが、あえて等号を含めたのは、x = y という可能性を捨てきれなかったからです。 一様連続の定義では、なぜか 0 < | x - y | < δ ならば ではなく、 | x - y | < δ ならば が使われます。よって、「勝手に x ≠ y と解釈してはいけないのかな?」と思ったのです。

camember6
質問者

お礼

なるほど。奥が深いのですね、勉強になりました。 ありがとうございました。

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