荷重をかけたときの傾斜方向計算方法を教えてください

質問

円盤(平盤)の上部に、数点の荷重をかける(押される)ポイントを設置し、

圧力をばらばらにかけた時に、どの方向に荷重がかかっているか

その方角を求めたいのですが、計算方法がわかりません。

荷重点数は増減するのと、荷重をかける場所は不定点です。

ベクトル合成を使うような記事がありましたが、

その先が分かりません。

どなたか、教えていただける方がいましたら、よろしくお願いします。

[例１]
北：０度、西：９０度、南：１８０度、東：２７０度とした場合
荷重ポイント１： ０度の位置で、 ８の荷重
荷重ポイント２： ４５度の位置で、１５の荷重
荷重ポイント３： ６０度の位置で、 ５の荷重
荷重ポイント４： ２７０の位置で、１０の荷重

例１の場合、４５度と２７０度の間に荷重がかかっていると
おもいますが、０度には８の荷重、６０度には５の荷重が
かかっているので、どのような計算をすればいいのでしょうか。

荷重ポイントが以下のような３点の場合は、０度の方角に
傾き(ベクトルがさすの)があることがわかりますが、
例１等の複雑な場合の計算式を教えてください。

荷重ポイント１： ０度の位置で、１０の荷重
荷重ポイント２： ９０度の位置で、 ５の荷重
荷重ポイント３：２７０度の位置で、 ５の荷重

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

要は重心を求めればいいわけですね。

i番目の加重ポイントの位置をベクトルXi、そこにかかる荷重をmi、重心をベクトルμとすると、
Σmi(Xi-μ) = 0
という関係が成り立ちますので、
μ = (ΣmiXi)/(Σmi)
で重心が求められます。

円盤の半径を1、加重ポイントを円周上のみと仮定して例1の重心を求めてみます。
荷重ポイント１： ０度の位置(1,0)で、 ８の荷重
荷重ポイント２： ４５度の位置(1/√2,1/√2)で、１５の荷重
荷重ポイント３： ６０度の位置(1/2,(√3)/2)で、 ５の荷重
荷重ポイント４： ２７０の位置(0,-1)で、１０の荷重
ですので、
ΣmiXi = 8×(1,0) + 15×(1/√2,1/√2) + 5×(1/2,(√3)/2) + 10×(0,-1) = ((21+5√2)/2, (-20+5√2+5√3)/2)
Σmi = 8 + 15 + 5 + 10 = 38
から、重心は
μ = (ΣmiXi)/(Σmi) = ((21+5√2)/76, (-20+5√2+5√3)/76)
となり、その方向は
arctan((-20+5√2+5√3)/76)÷(21+5√2)/76))
= arctan(-20+5√2+5√3)÷(21+5√2))
= -0.0000262997261 rad
= -0.00150686331度
となります。

お礼

quaestioさん

どうもありがとうございました。

ベクトル合成でうまくいきました。