2次方程式

質問

高校数学Bの問題なんですが、

2次方程式
　2x^2-2x+1=0
の解をα，βとするとき，
　α^3+β^3
の値はいくつになるんでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

arukamun

解の公式

x = (-b±√(b^2-4ac))/2a

に代入すると

x = (2±√(4-8))/4
　= (2±2i)/4
　= (1±i)/2

α = (1+i)/2
β = (1-i)/2
α^3+β^3 = (((1+i)^3)/8)+(((1-i)^3)/8)
　　　　　= ((1+i)^3+(1-i)^3)/8
　　　　　= ((2i)(1+i)+(-2i)(1-i))/8
　　　　　= ((2i-2)+(-2i-2))/8
　　　　　= -1/2

回答No.2

s99a137e2002

まず、α、βが解なので、(x-α)(x-β)=0を満たします。展開すると、
　　(x-α)(x-β)=x^2-(α+β)+αβ=0
これが、2x^2-2x+1=0 と等しいので、恒等式で、
　　2(α+β)=2
　　2αβ=1
となります。
　　∴　α+β=1
　　　　　αβ=1/2
ここで、
　　α^3+β^3=(α+β)^3-3αβ(α+β)
=1^3-3*(1/2)*1
=1-(3/2)
=-1/2
となります。

回答No.1

ONEONE

α^2＋β^2、α^3+β^3、α^4+β^4、などのαとβを交換しても式が変わらないものを対称式と言います。
対称式は上の例で言うと、α＋β、αβ、のみで表すことが可能なのです。

2x^2-2x+1=0
解と係数の関係というのは習いましたよね。
それによるとα＋β＝１、αβ＝１／2です。

α^3+β^3 ＝(α＋β)^3－3αβ(α＋β)＝１^3－３・（1／2）・１
＝－1／2

あってるかな。