円管内速度分布

質問

全くわかりません。
何から始めてよいのかわからないので困っています。
よろしくお願いします。

半径R、長さLの管の内部流れについて、半径rおよびr＋Δrの円筒で囲まれた円環部の力のバランスを考えて以下の速度分布を与える基礎式を求めよ。ただし、定常状態とする。
円柱を横にした図があり、左端にz=0、Po、右端にz=L、Plが書いてあり管内のrにおける速度をu、r＋Δrにおける速度をu＋Δuと書いてあります。
基礎式↓
0=μ/r×δ/δr×{r(δu/δr)}＋(Po－Pl)/L
あるいは、
0=μ/r×δ/δr×{r(δu/δr)}－δP/δz

ここで、μは流体の粘度である。

回答No.1

drmuraberg · ベストアンサー

円筒座標系のナビエ・ストークス方程式から導け出せる、
ハーゲン・ポアズイユ流という基本的な流れです。
基礎式の元になっている考えをしっかり理解してください。

さて基礎式
0=μ/rXδ/δrX{r(δu/δr)}－δP/δz　　　（１）
からスタートしましょう。

定常流ですからu=u(r)として、（１）式は
1/r×d/dr×{r(du/dr)}＝(1/μ)dp/dz (2)
となります。右辺はrに依らない関数です。

ここでV(r)=r×(du/dr)と置き,(2)に代入し変形すると。
dV(r)/dr=(1/μ)dp/dz×r (2')

これを解くと
V(r)=(1/2μ)dp/dz×r^2 + A A: 積分定数　　(3)

V(r)=r×(du/dr)　を（３）式に戻し、整理すると
du/dr = (1/2μ)dp/dz×r + A/r　　(4)

これを積分すると
u=(1/4μ)dp/dz×r^2 + A×logr + B　　　B:積分定数　(5)

境界条件、
１）ｒ＝0で流れが有限速度より、A=0でないと
　A×logrの項が円管の中央のr=0で∞になります。
　したがって、 A=0
２）壁面Rで速度がゼロの条件(r = R: u=0)からBの値、
－(1/4μ)(dp/dz)R^2が出てきます。
A=0とこの値を（5）式に入れ整理すると

速度分布の式が得られます。
u＝－(1/4μ)(dp/dz)(R^2－r^2)　　　　（6）

dp/dz=(Po－Pl)/L を（6）式に入れれば完成です。

グラフを書いてみると、流れの特徴がよくわかります。

補足

ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。

最後の
dp/dz=(Po－Pl)/L
がどうして成り立つのかわかりません。
教えていただいてよろしいでしょうか。

回答No.2

drmuraberg

訂正　dp/dz= - (Po－Pl)/L ですね。

dp/dz の物理的な意味は、管の長さ方向への圧力変化です。
左端を z=0,Po 右端を z=L,Pl としているので、
dp = Po - Pl, dz = 0 - L= -L
dp/dz = (Po - Pl)/(-L) = -(Po - Pl)/L

どうもすみませんでした。

お礼

わかりました。
ご丁寧にありがとうございました。
またわからないときはよろしくお願いいたします。