円運動の速度

質問

大学で人の動作解析の実験を、モーションキャプチャーを用いて行い、そこからでる時間(0.016秒)ごとのポイント(x.y.z)から、P点の速度(m/s)を求めたいという質問です。実験のイメージとしては、歩いている人の腕の振りを、肩をO点(x1.y1.z1)として肘を(x2.y2.z2)としたときの、肘の速度はどういった流れで求めていけばいいのでしょうか？OとPにはそれぞれ(x.y.z)の座標があり、時間ごとにエクセル上に並んでいます。数学や物理の教科書で調べ、まずω(rad/s)=θ/tを求め、
ν(m/s)=rωでP(肘)の瞬間の速度が出ると思うのでが、
いかがでしょうか。ここでの半径rは２点間の距離、SQRT((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)で求めました。θ=l/rだと思うのですが、l(弧の長さ)は、2πr/tでしょうか？エクセルで計算するのにπは3.14でいいのでしょうか？当方文系だったため、一人でやっていても困惑するばかりです。答えはもちろん早く求めたいのですが、「ここから、こんなことを勉強したほうがいいよ！」みたいなアドバイスでもいいので回答お願いします。

回答No.4

neKo_deux · ベストアンサー

> 下の数値は実際の一部です。

ここから肩の角度が出ますよね？
計算方法、座標軸、モデルにより異なりますが、仮にこうします。

時刻[s]　　角度[rad]
201.333 -0.946
201.350 -0.894
201.366 -0.850
201.383 -0.809
201.400 -0.767

Excelでグラフを書いて、時刻tと角度θの関係式を求めると、

θ(t) = -6.8926t^2 + 2778.5t - 280021

となります。
tについて微分して、角速度を求めると、

角速度ω(t)= dθ(t)/dt = -13.7852t + 2778.5

となります。

> 微妙にrの長さが変わってしまい

２点を個別に計測すれば、精度によりますが変わるのはむしろ当然です。
質問者さんの作成したい数理モデルに応じて、rの扱いを決めてください。
固定値にすると扱いが簡単なので、r=347.5とすると、

肘の速度v(t)=rω(t)=347.5×(-13.7852t + 2778.5)

など。

--
t=201.366での速度を求めると、

v(201.366)=347.5×(-13.7852×201.366 + 2778.5)
=913.72

一方、No.1の計算方法だと、900.…などの値が計算されますので、まぁ近い式なのではないでしょうか？

お礼

なんとかそれなりの数値が出たと思います。
親切にありがとうございました。

回答No.3

neKo_deux

例えば、Excelで以下のように時刻と角度が得られるとします。

時刻　　角度
1.000　-0.654
1.016　-0.604
1.032　-0.552
1.048　-0.497
1.064　-0.441
1.080　-0.382
1.096　-0.323
1.112　-0.261
1.128　-0.199

この範囲を選択し、[挿入]-[グラフ]、散布図で「データポイントを平滑線でつないだ散布図」グラフを作成します。
グラフの線を右クリック-[近似曲線の追加]で多項式近似を選択、オプションで「グラフに数式を表示する」を行います。

これで表示される式が多項式モデルでの時刻x-角度yの式になります。

--
次数3だとこのような式になりますので、

y = -8.8367x3 + 31.69x2 - 33.834x + 10.326　…(1)

xについて微分すると、

y'= -26.5101x2 + 63.38x - 33.834　…(2)

というのが角速度の式になります。
肘の速度は、ｒωで良いので、上腕の長さが30cmとかならば、

肘速度=0.3[m]*y'(t)

で計算できるハズです。

…と、手元で検算しようとしたら全然違ってます。どこかで大ポカやっているかも。

お礼

ありがとうございます。自分でもさらにいろいろやってるのですが、気が付くと進展していません。下の数値は実際の一部です。式などを含めてやってみて頂けないでしょうか。小数点は多少切り捨てています。モーションキャプチャーのポイントだと、微妙にrの長さが変わってしまい教科書の通りに出来ません。是非お願いします。
時刻 　 肘と肩r 　　 肘x 　　肘y 　 　 肘z
201.333　　350.1 　 -964.6 　 -587.3 　 927.0
201.35　 　349.3 　 -978.7 　 -592.5 　 938.9
201.366　　347.1 　 -990.2 　 -595.6 　 950.3
201.383　　345.5 　 -1000. 　 -598.1 　 961.8
201.4 　 　345.1 　　-1011.5 -600.7 　 973.4

肩x 　 肩ｙ 　 肩z
-830.9 　-432.2 　 1211.1
-830.7 　-431.3 　1211.3
-830.7 　-431.0 　1211.1
-830.3 　-430.8 　1211.5
-830.5 　-430.6 　1212.9

回答No.2

neKo_deux

> ここで言う速度って、0.016秒が単位時間で0.01mが移動距離なので、答えの0.625[m/s]は平均の速度になりますよね？
> 出したいのは瞬間の速度なんです。

0.016秒の間って、普通に扱う分には「瞬間」として問題ない場合が多いハズです。

> 角速度を使わないといけないと言われてしまい

個人的には、いけない事も無いと思うんですが…。

--
そういう手順ですと、

1) 肩、肘の座標から、各時刻に対する肩の角度を求める。
　→３次元ベクトルのなす角、余弦定理、ベクトルの内積
2) 上をグラフにするなどして、時刻と肩の角度の関数を作る。
　→近似関数、モデル化、Excelグラフの近似曲線の追加機能
3) 上の関数を時間で微分して、肩の角速度の関数を作る。
　→微分
4) 角速度から肩の位置に対する肘の速度を求める。
　→ｒω

という計算で、

> dはなんですか？

d/dtは微分を表します。
ds/dtだと、tの関数s(t)をtについて微分するという事です。

補足

>→３次元ベクトルのなす角、余弦定理、ベクトルの内積
というのはわかりますが、てっきり1)～4)にいけるのかと思ってました。そこで大変レベルが低くて申し訳ないのですが、2)と3)を分かりやすく説明して頂けないでしょうか？例とかを載せてもらえると助かります。お願いします。

回答No.1

neKo_deux

> P点の速度(m/s)を求めたいという質問です。
> P(肘)
> 肘を(x2.y2.z2)とした
> OとPにはそれぞれ(x.y.z)の座標があり、時間ごとにエクセル上に並んでいます。

モーションキャプチャの装置から見たP点の速度は、エクセルに並んでいる数値の増減から判断できるのでは？
例えば、0.016秒に0.01m動くならば、速度[m/s]は
0.01[m]÷0.016[s]=0.625[m/s]
と簡単に計算できると思います。

(モーションキャプチャの装置の座標系で)肩から見た肘の速度でも、肘xyz-肩xyzで求まりますし。

補足

ありがとうございます。ただここで言う速度って、0.016秒が単位時間で0.01mが移動距離なので、答えの0.625[m/s]は平均の速度になりますよね？出したいのは瞬間の速度なんです。このやり方だとたぶん教科書には[v=ds/dt]で瞬間の速度書かれていて、私はこれで良いと思うのですが、角速度を使わないといけないと言われてしまい困っています。ちなみに[v=ds/dt]の場合だとどのように計算していったらよいか、わかりますか？dはなんですか？