分数の積分

質問

∫1/(x^2*(x+2))は最初に部分分数を使って解けばいいのですか？

回答No.1

info22 · ベストアンサー

そう、被積分関数を部分分数に分解して、各項をそれぞれ積分するだけの問題ですね。

1/(x^2*(x+2))=-(1/4)(1/x)+(1/2)(1/x^2)+(1/4){1/(x+2)}

あとは項別に積分するだけです。

簡単な積分ですので分かりますね。

お礼

1/(x^2*(x+2))=-(1/4)(1/x)+(1/2)(1/x^2)+(1/4){1/(x+2)}
答えは出たのですが、この部分分数の分解の仕方がわかりません。
分母をx^2とx+2に分けて、分子をどうすればいいかわかりません。
お手数ですが、教えてください。

回答No.4

noname#101087

焦点の部分分数展開。
参考までに、なし崩しに未定係数を求める一法を。

　1/(x^2*(x+2)) = a/x + b/x^2 + c/(x+2)　　　…(1)

まず多重極から。
・(1) の両辺に x^2 を掛けて、X=0 を代入して、
　1/2 = b

・両辺から (1/2)/x^2 を引く。
　(1/2)/(x*(x+2)) = a/x + c/(x+2)　　　…(2)

ついで単一極を。
・(2) の両辺に x を掛け x=0 を代入。
　1/4 = a

・(2) の両辺に (x+2) を掛け x=-2 を代入。
　-1/4 = c

(No.3 さんの張った網の中にもあるかも)

お礼

この方法は知りませんでした。
参考になります。
ありがとうございます。

回答No.3

info22

>この部分分数の分解の仕方がわかりません。
>分母をx^2とx+2に分けて、分子をどうすればいいかわかりません。

1/(x^2*(x+2))=(a/x)+(b/x^2)+{c/(x+2)} …(■) ←恒等式
と置いて、a,b,cを未定係数法でa,b,cを求める。
両辺に(x^2*(x+2))を掛ける。
1=ax(x+2)+b(x+2)+cx^2　←恒等式
1=(a+c)x^2+(2a+b)x+2b　←xの恒等式
xの各次の係数同士が等しい。
a+c=0 , 2a+b=0 , 2b=1
a,b,cの連立方程式を解いてa,b,cを求め、(■)の式に代入すれば部分分数展開が完成します。
（以上の部分分数展開法を未定係数法と言います。この方法を確実にマスターすること）

部分分数展開法の基礎の収得と演習問題をこなすことが重要ですね。

部分分数展開は、以下のことをマスターしないといけませんね。
それには、教科書と参考書を以下の[A]～[D]の観点から復習して整理して覚えること、そして演習問題を数こなすことで、着実に身に着けることです。

[A]まずどんな部分分数に展開したら、
すぐ積分できる基本的な分数式の和になるかを学ぶこと。
積分できる関数のパターンを覚える。（演習問題の数をこなす）
基本的な分数式の積分公式を全部覚える。

[B]分数式の分母の因数分解をできるようにする。
これができないと部分分数展開にも入れない。
基本的な因数分解の公式を覚え、因数分解の仕方をマスターしておく。
（練習問題をこなす）

[C]分母の因数分解形からどんな部分分数に展開できるかのパターンを覚える。（演習問題をこなす）

[D]部分分数展開の基本は、部分分数の和による表現と、展開係数を未定係数法による係数の求め方を覚える。（練習問題をこなす）

以上。

演習問題をこなして、基本的な部分分数展開法と未定係数比較法（恒等式の性質を使う方法）を覚えて下さい。教科書や演習問題集があればそれで勉強してもいいし、以下のURLで勉強して覚えても良いでしょう。

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcans/node91.html
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node46.htm
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu-to-siki/seisiki/henkan.cgi?target=/math/category/suu-to-siki/seisiki/bubunnbunnsuu.html
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/q-and-a/2003/06/20030627-1.html
http://plaza.rakuten.co.jp/ultraprep/diary/200612210001/
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%88%86%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3
http://r25.jp/b/wp/a/wp/n/%95%94%95%AA%95%AA%90%94%95%AA%89%F0
http://d.hatena.ne.jp/arakik10/20090807/p1
http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/quotef1/node2.html
http://plaza.rakuten.co.jp/ultraprep/diary/200703050001/
など

お礼

理解しました。
勉強法まで指導していただき、ありがとうございます。
たくさん問題を解いてパターンを身につけれるよう練習します。

回答No.2

sanori

こんばんは。
最後のｄｘが欠けてますね。

はい。

１／（ｘ^2（ｘ＋２）　＝　ａ／ｘ^2　＋　ｂ／ｘ　＋　ｃ／（ｘ＋２）
が恒等式になるように、定数ａ、ｂ、ｃを決めます。

あと、
ｃ／（ｘ＋２）
の積分は、簡単な置換積分ですね。

ご参考になりましたら。